Bestimmen Sie alle Werte der Parameter a,b,c so, dass f(x) auf dem ganzen Definitionsbereich stetig ist?
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Bestimmen SIe alle Werte der Paramter a,b,c so, dass f(x) auf dem ganzen Definitionsbereich stetig ist. Kann man die Parameter so wählen, dass f differenzierbar ist? Wenn ja geben sie auch diese Werte an.
x^2+ax+b x<=0
f(x)= sin(cx) 0<x<=2pi
1-e^2(2pi-x) x>2pi
leider finde ich keinen bedeutungsvollen Ansatz. Ich habe über ein Gleichungssystem nachgedacht, komme mit dem Gedanken aber nicht weit da die Parameter ja nur in der 1. und 2. Funktion auftreten und auch unterschiedlich sind.
Bitte um Hilfe!!
2 Antworten
Es handelt sich hier um eine zusammengesetzte Funktion die aus 3 Teilfunktionen besteht. Diese Teilfunktionen sind für sich alleine betrachtet immer überall stetig. Hier muss man bei den Übergängen von einer auf die andere Funktion prüfen, ob es dort einen Sprung gibt, bzw. für welche Parameter es keinen gibt, so dass die Funktion dort ebenfalls stetig ist.
Der erste Übergang ist bei x=0. Dort hat die erste Funktion den Funktionswert f1(0)=b und die zweite Funktion den Wert f2(0)=0, egal wie die Parameter a und c lauten. D. h. b muss den Wert 0 haben, damit hier f1(0)=f2(0)=0 gilt und so die eine Funktion "nahtlos" in die andere übergeht.
Der andere Übergang ist bei x=2pi. Hier ist sowohl sin(c * 2pi) als auch 1-e^[(2 * (2pi-2pi) gleich Null.
Das bedeutet nun, dass die Parameter a und c jeden Wert annehmen dürfen und b=0 sein muss, damit diese zusammengesetzte Funktion immer stetig ist.
ups; beim 2. Übergang hatte ich einen kleinen Denkfehler. Ich gehe mal davon aus, dass die Parameter a,, b und c aus dem Bereich der reellen Zahlen kommen und nicht nur ganzzahlig oder gar natürliche Zahlen sein dürfen (was ich gedanklich vor Augen hatte). Der sinus wird natürlich für x=2pi nur bei ganzzahligen c Null, d. h. c muss ganzzahlig sein, damit die Funktion überall stetig ist!
Und das mit der Differenzierbarkeit habe ich komplett aus dem Sinn verloren...:
Damit die Funktion an den Übergängen differenzierbar ist, müssen die Steigungen dort gleich sein, d. h. die Funktion darf dort keinen "Knick" haben.
Also Ableitungen bilden und damit dann genauso vorgehen wie bei der Stetigkeitsprüfung auch.
Stetig bedeutet ruckfrei und keine Definitionslücke.
Wenn Du Dir das 1. Beispiel betrachtest, kannst Du für a und b beliebige Zahlen einsetzen. Die Funktion f(x)=x² ist IMMER stetig, da bx und c nichts an dieser Stetigkeit ändern können diese beliebig sein (bx und c stellen lediglich eine Verschiebung dar)
überleg mal wie das bei den anderen Beispielen funktionieren könnte
Überleg mal ob Dir die Ableitungen an den Stellen ggf. einen Hinweis geben könnten!
Die Steigung von einer Funktion muss an der Übergangsstelle GENAU die gleiche sein wie bei der neuen Funktion ;)
ergo f'(x)=g'(x) wenn es glatt sein soll :)
Aber dann kommen ja Immernoch keine Parameter raus mit denen ich rechnen kann. Habe die Ableitungen gebildet und f1=f2 gesetzt und für c=2x+a: cos(x) bekommen. Wenn ich das in meine Sinus Funktion einsetze kommt ja nichts sinnvolles bei raus 😅 oder soll ich anfangen schon beliebige Parameter zu wählen und dann der gleiche Spaß? Tut mir leid, dass ich so blöd frage aber ich komme leider nicht voran..
Das, was Rhenane erwähnte kommt dazu. Du sollst anscheinend drei Funktionen miteinander Verbinden. Dazu müssen fie Funktionswerte an ALLEN Übergangsstellen gleich sein UND, wenn das Kriterium der Ableitung beachten (siehe oben).
Ich warne Doch:
Am Ende kommt ein großes Gleichungssystem raus, dass Du genau aufstellen und abschreiben musst. Ein Fehler und es passt nicht mehr. ;)
Sin(cx) ist ja auch immer stetig, für beliebige Werte von c richtig? Und die e Funktion ist ebenfalls ohnehin stetig. Aber wie verbinde ich die Funktionen so dass die Stetigkeit gegeben ist?