Begründe: der Kehrwert einer irrationalen Zahl ist auch irrational?
Kann mir wer bitte bei der Begründung helfen. Danke
5 Antworten
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.
Der Kehrwert einer reellen Zahl, ohne die 0, ist auch reell, demnzufolge ist der Kehrwert einer irrationalen Zahl selbst eine reelle Zahl.
Da die irrationale Zahl nicht als Burch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann gilt, das auch für den Kehrwert, welcher einfach nur den Nenner und Zähler tauscht, aka der Kehrwert ist nicht rational.
Der Kehrwert einer irrationalen Zahl ist eine Zahl, die reell aber nicht rational ist, weswegen sie eine irrationale Zahl ist.
Das folgende nennt man einen indirekten Beweis. Sei eine irrationale Zahl r gegeben. Wir nehmen nun an, ihr Kehrwert 1/r wäre rational. Dann muß gelten:
Nun ist aber
und damit wäre auch r als Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellbar im Widerspruch zur Vorgabe das r ja irrational ist. Die Annahme dass der Kehrwert von r rational sein kann muß also verworfen werden.
Eine irrationale Zahl ist eine Zahl die nicht als Bruch dargestellt werden kann. Der Kehrwert eines Bruchs vertauscht ja einfach nur Zähler und Nenner. Wäre der Kehrwert einer irrationalen Zahl plötzlich nicht irrational (rational), dann hätte man doch einen Bruch den man einfach vertauschen muss... Dann wär die irrationale Zahl doch nicht irrational. Macht also keinen Sinn wenn man genau drüber nachdenkt.
Dein Lehrer will eigtl. nur dass du diese Unlogik verstehst. Wie genau du das jetzt zu Papier bringst ist egal. Schreibs einfach in deinen eigenen Worten auf.
Und wieso hast du jetzt das "nicht" fett marktiert? Das steht doch bei mir auch. In der Schulmathematik ist ein Bruch immer ein Bruch aus ganzen Zahlen, sowas braucht man doch nicht dazu schreiben. Das macht doch alles nur noch unnötig komplizierter.
Eine irratinale Zahl kann man nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen, wenn du nun den Kehrwert bildest, kannst du die Zahl noch immer nicht auf einen Bruch zweier Zahlen kürzen
Eine rationale Zahl ist der Bruch zweier rationaler Zahlen.
Wenn in einem Bruch Zähler oder Nenner irrational ist, dann ist der Bruch irrational. Dabei ist es egal, ob der Zähler oder Nenner irrational ist.
kleine Anmerkung:
Jede reelle Zahl, aslo auch die irrationalen Zahlen lassen sich als Bruch darstellen, da
"Satz (Rationale und irrationale Zahlen, Eindeutigkeit der Darstellung):
Jede reelle Zahl kann als (regulärer) Kettenbruch dargestellt werden. Für irrationale Zahlen ist die Kettenbruchdarstellung unendlich und eindeutig. Rationale Zahlen entsprechen endlichen Kettenbrüchen und jede rationale Zahl hat genau zwei Kettenbruchdarstellungen.".
Der Satz ist bewiesen, also ist die Aussage falsch.
Es müsste es "Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann." heiße.