Anwendung von Summenformel - wie löse ich diese Aufgabe?

Ich frage mich, wie man die Aufgabe a) löst ohne alle Werte von 5 bis 50 in k einzusetzen. Gibt es dafür irgendeine Formel, damit man dies schneller lösen kann? Danke im Voraus!

Answer 1

[Stnils]

Bei a) kannst du die beiden Summen auseinanderziehen und dann schon (fast) die Gaußsche Summenformel anwende.

Auch bedenken, dass die Gaußsche Summenformel bei k = 1 startet. ;)

Comments

[Toxkn]

Wie kann ich denn die Summen auseinanderziehen? Welche Summen sind hier überhaupt gemeint? :D

[Stnils]

@Toxkn

Addition ist kommutativ, d.h. du kannst die Summanden beliebig vertauschen.

Welche Summanden man sinnvollerweise auseinander ziehen sollte, bekomsmt du bestimmt selbst heraus. Du wirst dann nach dem Zwischenschritt zwei Summenzeichen dort stehen haben.

Wie gesagt: Die Gaußsche Summenformel anzuwenden sollte dein Ziel sein.

[Toxkn]

@Stnils

Also schau mal, ich bin jetzt so weit gekommen, dass in die Gaußsche Summenformel bei n 50 einsetze. Dieses Ergebnis teile ich dann nochmal durch 2, da in der Formel k halbe steht. Nun müsste ich lediglich 3/4 mal 45 dazu addieren. Ist das soweit richtig? Und anschließend müsste ich lediglich die Summen von den K-Werten 1 bis 5 wieder vom ganzen Ergebnis abziehen, da ja die Gaußsche Summenformel bei 1 anfängt. Richtig so? :)

[Stnils]

@Toxkn

Stimmt alles. Und nicht den Faktor 1/2 vergessen beim Abziehen der Summe von k = 1 bis n = 5.

[Toxkn]

@Stnils

Hey, habs eben versucht aber mein Ergebnis ist wohl falsch. Hmm, schwer jetzt die Rechnung von mir hierhin zu schreiben, ohne dass ich ein Bild nochmal hochladen kann. Würde mich gerne mit dir "befreunden", um dir das Bild zu schicken. Vielleicht kannst du ja mal drüber ein Blick werfen und gucken, was ich falsch gemacht habe :)

Answer 2

[hairybear]

Zu a ) Löse doch mal die Klammer auf. Vielleicht wird es dann deutlicher.

Comments

[Toxkn]

Was bringt es mir denn die Klammer zu lösen? :D also klar, ich könnte auch hinschreiben: 1/2k + 3/4 und davor das Summenzeichen. Aber damit komme ich nicht weiter finde ich :D kannst du mir weitere Ansätze geben?

[hairybear]

@Toxkn

Du kannst dann die Summen einzeln betrachten, was es um einiges leichter macht. Ich kann dir leider keine komplette Lösung hinschreiben, da ich momentan noch an einem Projekt arbeite, was ich bis 8 Uhr morgens fertig bekommen muss. Wenn du keine Antwort bis morgen Abend findest, dann werden ich dir es sehr ausführlich erklären.

[Toxkn]

@hairybear

Alles klar, danke. Werde auf jeden Fall weiter versuchen die Gleichung zu lösen :)

[hairybear]

@Toxkn

Ich weiß jetzt nicht ob du die Aufgabe schon fertig hast oder nicht, aber ich erkläre es gerne trotzdem.

(k=5 bis k=50) Σ(k/2+3/4)

Jetzt kannst du die Klammern auflösen und die Summen getrennt betrachten.

(k=5 bis k=50) Σ(k/2) + (k=5 bis k=50) Σ(3/4)

Schauen wir uns den hinteren Teil zu erst an. Dieser wird 46 mal auf das Ergebnis addiert.

Also haben wir für

(k=5 bis k=50) Σ(3/4) = 46 * 3/4 = 23 * 3/2 = 69 / 2 = 34.5

Den vorderen Teil kannst du dann abändern, dass du die Summenformel von Gauss verwenden kannst (k=5 bis k=50) Σk = ((n/2)*(n+1))

(k=5 bis k=50) Σ(k/2) = (k=5 bis k=50) Σ((1/2)*k)

Den Faktor 1/2 kannst du rausziehen, da es keinen unterschied macht ob du in der Summe immer multiplizierst oder am Ende das Ergebnis.

(1/2) * (k=5 bis k=50) Σ(k)

Jetzt gilt die Summenformel nur für k = 1 bis k = n. Das kann uns aber egal sein, wenn wir die ersten 4 k's von unserer Summe subtrahieren.

1/2 * ((k=1 bis k=50)  Σ(k) - (k=1 bis k=4)  Σ(k))
Schenll die SUmmenformel angewandt.
1/2 * ((50/2) * (50+1) - (4/2) * (4+1))
1/2 * (25 * 51 - 2 * 5)
1/2 * (1275 - 10)
1/2 * 1265
632.5

Jetzt einfach beide Teile der Summe addieren:

632.5 + 34.5 = 667

[Toxkn]

@hairybear

Oha danke für deine Mühe! Hatte zwar schon die Aufgabe gelöst aber trotzdem danke!! Schätze ich sehr :)

Answer 3

[Ellejolka]

schreib dir mal paar Summanden auf, dann merkst du vielleicht einiges;

5/2+3/4+6/2+3/4+7/2+3/4+.................

25 • 3/4

1/2 • (5+6+7+.......+50)

Comments

[Toxkn]

Ah stimmt. Aber warum 25 • 3/4? Es müsste doch 45 • 3/4 sein, oder? Und bei der Gaußschen Summenformel fängt man ja bei 1 an. Jedoch will ich doch bei 5 anfangen. Soll ich die Summen von den Werten 1 bis 5 wieder vom ganzen Ergebnis abziehen?

[Ellejolka]

@Toxkn

ja, 45• hast recht;

und beim anderen ist das mit abziehen eine gute Idee.

[Toxkn]

@Ellejolka

Okay also ich setze jetzt bei der Gaußschen Summenformel für n 50 ein. Und teile dieses Ergebnis dann durch 2 weil es ja "k-halbe" sind in der Funktion. Zu diesem Ergebnis addiere ich dann noch die 45 • 3/4 und anschließend ziehe ich wie gesagt die Summen von den K-Werten 1 bis 5 wieder vom ganzen Ergebnis ab. So sollte es doch stimmen oder? Trotzdem kommt bei mir ein blöder Wert raus :/

[Ellejolka]

@Toxkn

naja, da hier Brüche dabei sind, kann es ja sein, dass da ein "blöder" Wert rauskommt; um ganz sicher zu gehen und dabei noch viel zu lernen, kannst du es ja mit k= 5 bis 8 zB prüfen, ob die Vorgehensweise richtig ist.

[Toxkn]

@Ellejolka

Hmm, schwer jetzt die Rechnung von mir hierhin zu schreiben, ohne dass ich ein Bild nochmal hochladen kann. Würde mich gerne mit dir "befreunden", um dir das Bild zu schicken. Vielleicht kannst du ja mal drüber ein Blick werfen und gucken, was ich falsch gemacht habe :)

[Toxkn]

@Toxkn

Habs gelöst. :) Hatte noch Probleme damit, die Summen von den k-Werten 1 bis 5 wieder abzuziehen abzuziehen. Danke für deine Hilfe!!

Answer 4

[Mikkey]

Es gibt eine Gaußsche Summenformel...

Comments

[Toxkn]

Ja aber wie wende ich die in diesem Beispiel an?

[Mikkey]

@Toxkn

Die beruht darauf, dass Du die Summe ersetzt durch eine Multiplikation:

Anzahl der Summanden multipliziert mit dem Durchschnitt aller Summanden.