Äquivalenzrelation Modulo Division?
Folgende Aufgabe:
Sei m ∈ N. Beweisen Sie, dass die Relation
𝑅 = {(a, b) ∈ Z × Z ∣ a ≡ b (mod m)}
eine Äquivalenzrelation i
n Z ist!
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Eine Äquivalenzrelation muss ja folgende Eigenschaften aufweisen:
- symmetrisch, reflexiv, transitiv
Reflexiv: Jede Zahl steht mit sich selbst in Relation und lässt bei Division durch m logischerweise den selben Rest (da es ja die selbe Zahl ist) --> Kann man das beweisen oder würde da dieser Antwortsatz reichen?
∀a ∈ Z : a ≡ a(mod m) -
Symmetrisch: Bei der Modulo Schreibweise handelt es sich ja um eine Kongruenz, welche beidseitg ist. Also a ≡ b (mod m) ist äquivalent zu b ≡ a (mod m)
∀a,b ∈ Z : a ≡ b(mod m) ⇒ b ≡ a(mod m)
Transitiv: ∀a, b, c ∈ Z : a ≡ b(mod m) und b ≡ c(mod m) ⇒ a ≡ c(mod m)
Das wäre ja die allgemeine Defintion. Wie kann man aber transitiv allgemein beweisen?
Mir geht es mehr darum, wie man sowas allgemein beweisen kann. Bei Reflexivität weiß ich, dass es so ist, aber wie beweißt man das?
a ≡ b(mod m)⇔∃k∈Z∶ a-b=k*m <-- So könnte man die Äquivalenz auch ausdrücken
1 Antwort
Ja, du schreibst eigentlich nur hin, was du beweisen willst, was nicht unbedingt Sinn der Sache ist.
Dann kannst du die drei Punkte leicht beweisen.
Z.B. Reflexivität: a = a + 0*m. Mit k = 0 hast du so ein k aus Z gefunden, also a = a mod m