Bei der zweiten Ableitung setzt Du die Klammer nach dem Ausklammern von e^(-x²) falsch: hinter der e-Potenz gehört eine große Klammer!

=e^(-x²)*[-2+(-2x)*(-2x)]=e^(-x²)*(-2+4x²)

=e^(-x²)*(4x²-2)

Die Alternative wäre tatsächlich die Substitution:

u=ln(x) => u'=du/dx=1/x <=> dx=x du

einsetzen:

Int(u/x x du)=Int(u du)=1/2u²+C=F(u)

re-substituieren:

F(x)=1/2 ln(x)²+C

Zur Prüfung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Nullpunkt) bestimmst Du f(-x), d. h. Du ersetzt jedes x im Ausgangsterm durch (-x) und vereinfachst den Term. In diesem Fall kommt derselbe Term raus wie bei der Ausgangsfunktion (nur sind die Summanden vertauscht, was ja bekanntlich am Ergebnis nichts ändert).

Somit gilt f(-x)=f(x), und das bedeutet, dass f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Mit f'''(4)=6 (≠0) zeigst Du nur, dass bei x=4 wegen f''(4)=0 tatsächlich eine Wendestelle ist. Ob f''' größer oder kleiner Null ist ist egal und hat nichts mit der Krümmung zu tun (Hauptsache f'''≠0).

Jetzt musst Du prüfen, wie die Krümmung vor bzw. hinter x=4 ist. Dafür setzt Du einen Wert <4 (bzw. >4) in f'' ein und bestimmst so die Art der Krümmung: f''<0 => linksgekrümmt; f''>0 => rechtsgekrümmt

Also z. B.: f''(3)=6*3-24=-6<0 (in der Lösung wurde x=0 statt x=3 gewählt), d. h. f ist bis zur Wendestelle linksgekrümmt; und logischerweise hinter der Wendestelle rechtsgekrümmt, d. h. Du brauchst hinter der Wendestelle gar nicht prüfen, da an Wendestellen "automatisch" die Krümmung wechselt.

Hier geht es um exponentielles Wachstum (exponentielle Abnahme), d. h. Du benötigst eine Exponentialfunktion.

Diese sieht allgemein so aus: f(t)=a * q^(kt).

Das a ist der Anfangswert (bei t=0), das q ist der Wachstumsfaktor, das t die Zeit und das k ist ein Parameter, der die "Aktivierung" des Wachstums steuert, d. h. das k muss so gewählt werden, dass zu dem Zeitpunkt, an dem das erste Mal die vorgegebene Änderung eintritt, der Exponent den Wert 1 ergibt.

Hier ist kein konkreter Startwert gegeben, d. h. Du setzt allgemein a=100 %=1 an. Der Startwert soll nach bestimmter Zeit (hier halbstündlich) um 10 % abnehmen, d. h. nach einer halben Stunde sind nur noch 90 %=0,9 vom Startwert vorhanden, also q=0,9. Das t steht hier sinnvollerweise für "Stunden". Und da nach einer halben Stunde der Startwert auf 90 % sinkt, muss für das k der Wert 2 gewählt werden, denn k*t, also hier k*0,5 muss ja wie zuvor erwähnt den Wert 1 ergeben.

Also lautet hier Deine Exponentialfunktion:

f(t)=1*0,9^(2t)=0,9^(2t)

Bei a) ist gefragt, wann vom Startwert nur noch die Hälfte vorhanden ist, also nach f(t)=0,5:

0,9^(2t)=0,5 |ln anwenden

ln(0,9^(2t))=ln(0,5) |Regel: ln(a^b)=b*ln(a)

2t*ln(0,9)=ln(0,5) |:(2*ln(0,9))

t=ln(0,5)/(2*ln(0,9))=...

b) hier ist nach f(t)<0,001 gefragt; dabei darauf achten, dass wenn ln(x) negativ ist für x<1, d. h. dann musst das Ungleichheitszeichen "drehen"!

Wenn das tatsächlich die komplette Aufgabenstellung ist, dann ist die Lösung falsch!

Die erste Person hat 8 frei Stühle zur Auswahl, die nächste noch 7, die dritte noch 6, usw. D. h. es gibt 8*7*6*...*2*1=8!=40.320 Möglichkeiten.

Oder sollen etwa z. B. 2 von diesen 8 einen festen Platz zugewiesen bekommen, dann gäbe es für die restlichen 6 Personen 6!=720 Möglichkeiten sich auf die verbleibenden 6 Stühle zu verteilen...

Zerlege den Bruch von f in 3 Brüche und kürze die beiden ersten Brüche (das ist quasi eine "erleichterte" Polynomdivision). Du erhältst als Term die Parabel g plus Rest, d. h. die Parabel g ist die schiefe Asymptote von f...

(Bei c) gehst Du dann genauso vor!)

Hier liegt eine antiproportionale Zuordnung vor: je mehr Mitglieder, desto weniger Tage.

D. h. wenn Du den Dreisatz anwendest und links jetzt bei "72 Mitglieder entsprechen 15 Tage" durch 72 teilst, um auf "1 Mitglied entspricht ... Tage" zu kommen, musst Du rechts mit 72 multiplizieren.

Anschließend multiplizierst Du links mit 90, um auf die angegebenen 90 Mitglieder zu kommen, und musst rechts nun durch 90 teilen.

Also: 90 Mitglieder entsprechen 15*72/90=12 Tage.

1) richtig

2) die Scheitelpunkte stimmen - der Rest fehlt noch...

3) Hier stimmt gar nichts: wo kommen die y-Werte in der Tabelle her? Es geht um 2 verschiedene Funktionen und Du hast bei beiden dieselben y-Werte notiert, von denen alle bis auf die bei x=0 falsch sind!!

z. B.: y=3x²; x=-1 => y=3*(-1)²=3*1=3

Und die Graphen stimmen auch nicht: der einzige Punkt aus der falschen Tabelle, der richtig eingezeichnet wurde, ist der Punkt (1|2)... In der Tabelle steht jeweils (richtigerweise) der Punkt (0|0), den Du bei beiden Graphen nicht notiert hast (dies ist jeweils der Scheitelpunkt!).

3a) y=3*(1/2)²=3*(1/4)=3/4 => P(1/2 | 3/4)

b)+c) stimmen

d) fehlt

4a)+b) korrekt

c) fehlt

Wenn Du bei der Gleichung e^x+2x=1 den ln anwendest, ergibt das:

ln(e^x+2x)=ln(1) und nicht etwa ln(e^x)+2x=ln(1) !!!

Das bringt aber auch nicht weiter, so dass (wie evtldocha schon schreibt) man evtl. mit raten voran kommt. Wenn man es nicht sofort sieht, testet man in der Regel erst einmal ganze Zahlen.

Und wenn das mal nicht hilft (weil die Nullstelle z. B. keine ganze Zahl ist), dann nähert man sich der Nullstelle an, indem man zuerst mithilfe einer Wertetabelle schaut, in welchem Bereich die Funktionswerte das Vorzeichen wechseln, denn dazwischen muss irgendwo eine Nullstelle liegen.

"Viele Wege führen nach Rom"...

Wenn Dein Rechenweg stimmig ist und auch noch das richtige rauskommt, dann ist doch alles ok - es sollte halt nur nachvollziehbar sein.

In diesem Fall nimmt der Spielleiter immer 1,- € ein, also 100 % * 1,- € und muss in 2 * 9 % der Fälle 5,- € rausrücken, also G=100 % * 1,- € - 2 * 9 % * 5,- €=1,- € - 2*0,09 * 5,- €.

Die 34 wurde nicht für h, sondern für A eingesetzt!

A=Wurzel(3)/2 * a²
A=34 => 34=Wurzel(3)/2 * a²

Die Gleichung für h sieht ähnlich aus: h=Wurzel(3)/2 * a (also a ohne Quadrat, vielleicht hat das für die Verwirrung gesorgt...)

An der Stelle, wo Du von 0x die 0,5x abziehst, hast Du einen Vorzeichenfehler: es muss -0,5x heißen. Dann kommt bei der letzten Division am Ende -0,5 raus, und das ergibt mit (x-2) multipliziert -0,5x+1 und somit kommst Du am Ende auch auf Rest 0.

Fakt ist: ist x0 eine Nullstelle eines Terms, dann ergibt die Division dieses Terms durch (x-x0) IMMER Rest 0, ansonsten ist (wie hier bei dir) etwas schief gelaufen!

Graphisch betrachtet:

2ab= 2 * (ab). ab ist geometrisch gesehen (auf die abgebildete Figur bezogen) ein Rechteck mit der Breite a und der Höhe b. Und das ganze zweimal, d. h. 2ab ist die Fläche der beiden übereinanderliegenden Rechtecke unten links.

Hinzuaddiert wird 2b², d. h. die beiden Quadrate mit Seitenlänge b rechts neben diesen beiden Rechtecken.

Betrachtest Du nun diese Gesamtfläche (also die beiden Rechtecke plus der beiden Quadrate), dann hat dieses große Rechteck die Breite a+b und die Höhe 2*b, also:

2ab+2b² = 2b * (a+b)

mathematisch betrachtet:

der Term 2ab+2b² besteht aus 2 Summanden (2ab und 2b²), die beide die Faktoren 2 und b enthalten, d. h. man kann diese ausklammern; in der Klammer bleiben dann als Summanden die nicht ausgeklammerten Faktoren übrig, also:
2ab+2b² = 2b * (a+b)
[wenn Du aus 2ab die 2 und das b "wegstreichst", bleibt a übrig, und von 2b²=2bb bleibt ein b übrig, wenn Du 2 und b wegnimmst]

Um etwas über die Monotonie einer Funktion aussagen zu können, leitest Du die Funktion ab und prüfst, in welchen Bereichen die Ableitung (=Steigung der Funktion) größer bzw. kleiner Null ist.

Hier ergibt die Ableitung: (ich würde den Funktionsterm etwas umschreiben, um die Produktregel statt Quotientenregel zu nutzen)

f(x)=4x * (x²-4)^(-1)

f'(x)=4 * (x²-4)^(-1) + 4x * (-1) * (x²-4)^(-2) * 2x = 4/(x²-4) - 8x²/(x²-4)²

= {vorderen Bruch mit (x²-4) erweitern um beide Brüche zusammenfassen zu können} [4(x²-4)-8x²]/(x²-4)² = 4 (x²-4-2x²)/(x²-4)² = 4(-x²-4)/(x²-4)² = -4(x²+4)/(x²-4)²

Wenn Du dir diesen Term genauer anschaust, wirst Du erkennen, dass die Klammern immer positiv sind, und somit der Ableitungsterm wegen des Minuszeichen vorne daher immer negativ ist, d. h. es gilt hier f'(x)<0 für alle x. Somit ist f streng monoton fallend über dem gesamten Definitionsbereich.

Der Ast von A nach N hat die Wahrscheinlichkeit 88/99 (=8/9) - da hast du dich verschrieben.

Ich würde die Wahrscheinlichkeiten aber noch kürzen, da wo es möglich ist, um die Zahlen kleiner zu kriegen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades erhältst du durch Multiplikation der beiden zugehörigen Ast-Wahrscheinlichkeiten.

Bei b) bis f) musst Du nun überlegen welche Pfade in Frage kommen und deren Wahrscheinlichkeiten addieren.

Einfach nur Lösungen nennen ist nicht...

"Mathematisch" würde man das natürlich anders notieren (immer mit dem "lim" vorab), aber die Vorgehensweise und das Ergebnis stimmen.

Du hast hier eine Funktion mit (be-)hebbarer Definitionslücke bei x=0. Indem Du das x rauskürzt erhältst Du eine Gerade (Term in Normalform umgestellt: f(x)=-1/2x+1), nur dass halt in diesem Fall der Punkt (0|1) nicht existiert, weil die "ungekürzte" Funktion für x=0 nicht definiert ist.

D. h. der ursprüngliche Hochpunkt (0|6) soll nach der Transformation bei (0|4) liegen, d. h. der Graph muss 6 Einheiten nach unten und 4 Einheiten nach rechts verschoben werden.

Verschiebung in y-Richtung erreichst Du, indem Du einfach die Einheiten (hier -6, weil nach unten) zum Funktionsterm hinzuaddierst.

Einen Graphen verschiebst Du um k Einheiten nach rechts, indem Du jedes x im Funktionsterm durch (x-k) ersetzt.

D. h. aus f(x)=3x³-7x²+6 wird durch Verschiebung um 6 Einheiten nach unten und 4 Einheiten nach rechts: g(x)=3(x-4)³-7(x-4)²+6-6=3(x-4)³-7(x-4)²

Du kannst doch nicht einfach x² kürzen!?! In Zähler und Nenner steht dieses x² jeweils in einer Summe!

Stattdessen klammerst Du im Nenner die 3 aus und kürzt dann den dadurch entstehenden Term (x²+1).

Das erste was man prüft ist, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Wenn ja, dann sind die Geraden entweder parallel (und es gibt keine Lösung) oder identisch (unendlich viele Lösungen); wenn nicht, wie in Deinem Fall, dann haben sie entweder einen Schnittpunkt (eindeutige Lösung) oder sind windschief (keine Lösung).