Kreis und Körperberechnung?

Ich bräuchte eventuell Hilfe hierbei

kennt sich irgendjemand mit pie aus ? / Kreis und Körperberechnung

Answer 1

[mihisu]

kennt sich irgendjemand mit pie aus ?

Nein, ich kenne mich nicht „pie“ (Kuchen?) aus. Mit der Kreiszahl π („pi“) kenne ich mich eher aus. Aber die Kreiszahl π benötigt man für die Aufgabe im Bild überhaupt nicht.

====== Hinweise ======

Hinweis 0: Der Umfang eines Sechsecks ergibt sich, indem man die Seitenlängen addiert. Da man hier 6 Seiten hat, die jeweils gleich lang sind, erhält man den Umfang als das 6-fache der Seitenlänge des Sechsecks.

Hinweis 1: Du kannst die Sechsecke jeweils als aus 6 gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sehen. [Die Seitenlänge eines solchen gleichseitigen Dreiecks ist dann gleich der Seitenlänge des Sechsecks.]

Hinweis 2: Beim inneren Sechseck ist die Seitenlänge der entsprechenden gleichseitigen Dreiecke offensichtlich gleich dem Kreisradius r.

Hinweis 3: Beim äußeren Sechseck ist die Dreieckshöhe der entsprechenden gleichseitigen Dreiecke offensichtlich gleich dem Kreisradius r. Wie groß ist dann die Seitenlänge eines solchen gleichseitigen Dreiecks? [Falls du keine Formel für die Dreieckshöhe in gleichseitigen Dreiecken kennst... Du kannst mit Satz des Pythagoras arbeiten, wenn du das Dreieck geeignet halbierst.]

====== Lösung ======

Das innenliegenden Sechseck kann man aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge r zusammengesetzt sehen. Die Seitenlänge des innenliegenden Sechsecks ist damit dann offensichtlich auch gleich r. Da das Sechseck 6 Seiten, jeweils mit Seitenlänge r hat, erhält man für den Umfang des Sechsecks...

$u_\text{innen}=6\cdot r$

Das außenliegende Sechseck kann man ebenfalls aus 6 gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sehen. Allerdings ist bei diesen Dreiecken dann nicht die Seitenlänge gleich r, sondern die Dreieckshöhe ist gleich r. Vielleicht kennst du bereits die Formel für die Dreieckshöhe in einem gleichseitigen Dreieck. Ansonsten kannst du auch folgendermaßen mit Satz des Pythagoras ansetzen...

$a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+r^2$

$\Leftrightarrow \quad a^2=\frac{a^2}{4}+r^2$

$\Leftrightarrow \quad a^2-\frac{a^2}{4}=r^2$

$\Leftrightarrow \quad \left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot a^2=r^2$

$\Leftrightarrow \quad \frac{3}{4}\cdot a^2=r^2$

$\Leftrightarrow \quad a^2=\frac{4}{3}\cdot r^2$

$\Leftrightarrow \quad a=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot r^2}$

$\Leftrightarrow\quad a=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{r^2}$

$\Leftrightarrow\quad a=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot r$

Damit hat man die Seitenlänge der entsprechenden gleichseitigen Dreiecke und damit die Seitenlänge des äußeren Sechsecks (in Abhängigkeit von r) gefunden. Der Umfang des Sechsecks besteht aus 6-mal dieser Seitenlänge...

$u_\text{außen}=6\cdot a=6\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot r=\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot r$

Bzw. ist es in der Regel „schöner“, wenn man den Nenner rational macht, statt dort eine Wurzel stehen zu haben...

$u_\text{außen}=\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot r=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{3}\cdot r=4\cdot \sqrt{3}\cdot r$

Bzw. wenn man 4 ⋅ √(3) in einen Taschenrechner eingibt, um sich das Ergebnis näherungsweise als Dezimalbruch darstellen zu lassen, erhält man beispielsweise auf 2 Nachkommastellen gerundet 4 ⋅ √(3) ≈ 6,93 und damit...

$u_\text{außen}=4\cdot \sqrt{3}\cdot r\approx 6\text{,}93\cdot r$

Was man damit folgern kann... Der Kreisumfang liegt zwischen 6 ⋅ r und 4 ⋅ √(3) ⋅ r (≈ 6,93 ⋅ r).