Kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen?
1 Antwort
Hast du eine Gleichung wie
sin(x) = y
gegeben, dann sind alle reellen Lösungen, G = ℝ, durch die Ausdrücke
⌈ x = –sin⁻¹(y) + π (2 n + 1)
⌊ x = sin⁻¹(y) + 2 π n
mit beliebigen ganzen Zahlen n.
Hast du eine Gleichung wie
cos(x) = y
gegeben, dann sind alle reellen Lösungen, G = ℝ, durch die Ausdrücke
⌈ x = –cos⁻¹(y) + 2 π n
⌊ x = cos⁻¹(y) + 2 π n
mit beliebigen ganzen Zahlen n.
Aufg. 1)
a)
sin(x) = –0,4
Mit den Formeln oben erhalten wir:
⌈ x = –sin⁻¹(y) + π (2 n + 1)
⌊ x = sin⁻¹(y) + 2 π n
⌈ x = –(–0,41) + π (2 n + 1)
⌊ x = –0,41 + 2 π n
⌈ x ≈ 0,41 + π (2 n + 1)
⌊ x ≈ –0,41 + 2 π n
Mit G = [–4, 4] folgt:
Für das obere x erhält man:
⌈ x ≈ –9,01 (n=–2) ∉ G
∣ x ≈ –2,73 (n=–1) ∈ G
∣ x ≈ 3,55 (n=0) ∈ G
⌊ x ≈ 9,83 (n=1) ∉ G
Für das unter x erhält man:
⌈ x ≈ –6,69 (n=–1) ∉ G
∣ x ≈ –0,41 (n=0) ∈ G
⌊ x ≈ 5,87 (n=1) ∉ G
Andere Zahlen n brauchen nicht betrachtet werden, da x dann noch weiter von G entfernt liegen. Die Lösungsmenge ist demnach
L = {–2,73; –0,41; 3,55}.
b)
cos(x) = –0,8
Mit den Formeln oben erhalten wir:
⌈ x = –cos⁻¹(y) + 2 π n
⌊ x = cos⁻¹(y) + 2 π n
⌈ x ≈ –1,98 + 2 π n
⌊ x ≈ 1,98 + 2 π n
Mit G = [–4, 4] folgt:
Für das obere x erhält man:
⌈ x ≈ –8,26 (n=–1) ∉ G
∣ x ≈ –1,98 (n=0) ∈ G
⌊ x ≈ 4,30 (n=1) ∉ G
Für das unter x erhält man:
⌈ x ≈ –4,30 (n=–1) ∉ G
∣ x ≈ 1,98 (n=0) ∈ G
⌊ x ≈ 8,26 (n=1) ∉ G
Andere Zahlen n brauchen nicht betrachtet werden, da x dann noch weiter von G entfernt liegen. Die Lösungsmenge ist demnach
L = {–1,98; 1,98}.
Aufg. 2)
Schau dir die Formeln für die Kosinusgleichung ganz oben an. Mit denen folgt (wir suchen Nullstellen der Kosinusfunktion, also ist y = 0):
cos(x) = 0
⌈ x = –cos⁻¹(0) + 2 π n
⌊ x = cos⁻¹(0) + 2 π n
⌈ x = –π/2 + 2 π n
⌊ x = π/2 + 2 π n
Da G = ℝ, gibt es keine Einschränkung. Die Lösungsmenge ist also
L = {–π/2 + 2 π n | n ∈ ℤ} ∪ {π/2 + 2 π n | n ∈ ℤ}.
Falls nicht bekannt: "∪" bedeutet "vereinen".
Aufg. 3)
Man zeichnet die Kosinusfunktion in ein Koordinatensystem. Als nächstes zeichnet man die waagerechte Gerade y = 0,6 ein. Nun markiert man die Schnittpunkte der beiden Graphen. Von diesen Punkten liest man die x-Koordinate jeweils ab und überprüft, ob x im Intervall [3, 12) ist bzw. ob 3 ≤ x < 12 ist. Alle x in diesem Intervall sind Lösungen und man fasst sie als Lösungsmenge zusammen. Die Skizze sieht so aus (das Intervall in grün):
Es gibt also genau drei Schnittstellen im Intervall. Wenn man sie abliest erhält man ungehfähr die Lösungsmenge
L = {5,35; 7,20; 11,60}.
