CDF von Y = e^x bei gegebener PDF von X?
Aufgabe:
Mein Ansatz:
Y = ex
fy(Y) = Pr(Y = y) = Pr(ex = y) = Pr(x = ln(y))
Ich setze nun x = ln(y) in die obige Funktion ein:
Integral(1-e^-(2*(ln(y))))dy = Integral(1-eln(y^-2))dy = Integral(1-y^-2) dy = [y + 1/y] wenn ich nun für y 0 und unendlich einsetze fällt es mir schwer nach 1 aufzulösen um die CDF zu bekommen.
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
rechnen, Funktion, Ableitung
Du kannst mit "<=" statt "=" arbeiten,
F_Y(y) = Pr(Y <= y) = Pr(ex <= y) = Pr(x <= ln(y)) = (einsetzen)
= 1 - exp( -2 ln(y) ) (1 < y < unendlich), sonst 0
= 1 - 1/y^2 (1 < y < unendlich), sonst 0
(Mit F_X(x) ist eine Verteilungsfunktion gegeben, die geht ja gegen 1 für x gegen unendlich, man muss nicht nochmal integrieren. Die Bezeichnungen sind etwas verwirrend.)