Wer kann mir bei diesen unmöglichen Aufgaben helfen?
Hallo ihr lieben,
ich kann diese Aufgaben nicht lösen, da ich nicht den LK-Niveau besitze. Es wäre lieb, wenn jemand helfen kann. Danke im Vorraus
2 Antworten
Seien a und b die Seitenlängen des Rechtecks und d = a + b der halbe Umfang, den setze ich als bekannt voraus.
Mit <= bzw. >= meine ich den Vergleichsoperator "kleiner oder gleich" bzw. "größer oder gleich".
Was Ihr mit "Optimierungsstrategie" meint, ist mir unklar, aber mir fallen für a) gleich drei Möglichkeiten ein:
1)
Das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Gleichheit der Mittelwerte tritt genau dann ein, wenn beide Zahlen gleich sind.
Wurzel(a * b) <= (a + b)/2
a * b <= d² / 4.
Damit haben wir den Maximalwert für die Fläche, der bei a = b angenommen wird.
2)
Da der bei 1) verwendete Satz für die Mittelwerte möglicherweise unbekannt ist, kann man die binomischen Formeln benutzen. (und damit den Satz implizit herleiten)
(a + b)² = a² + 2ab = b² = d²
(a - b)² = a² - 2ab + b² >= 0 (Gleichheit für a = b)
Die Differenz aus beiden ist
4ab <= d²
Gleichheit (und damit das Maximum für ab) gilt für a = b.
3)
Wenn einem nichts besseres einfällt: Differentialrechnung.
A = a * b = a * (d - a) -> max.
dA / da = d - 2a = 0
Daraus folgt a = d/2 und damit auch b = d/2, also a = b.
Aufgabe b)
Es ist AT = a, TB = b, AT + TB = d. Also genau so wie oben.
Aufgabe c)
Wenn a * b maximal ist, dann logischerweise auch (ab)² = a² * b².
Du hast ein Rechteck mit den Seitenlänge a und b.
Wie groß ist dann der Umfang? Das ist deine Nebenbedingung, denn der Umfang ist fix.
Wie groß ist die Fläche? Das ist die zu optimierende Größe, davon musst du das Maximum bestimmen.