Wie kann ich beweisen?

Answer 1

[TBDRM]

Nutze die Eigenschaft von ähnlichen Dreiecken aus. Hier bietet sich an, die gleich bleibenen Seitenverhältnisse bei ähnlichen Dreiecken auszunutzen.

AC / AM = GJ / GM

=> GJ = AC * GM / AM

GM = 1/2 * AM

=> GJ = AC * 1/2 AM / AM = 1/2 * AC

Dabei ist GM = 1/2 AM zu zeigen. Das kannst du wie folgt machen:

MF = MD

MF / AM = sin(60°/2) = 1/2

=> AM = 2 MF = 2 MD

=> AM + MD = AM + 1/2 AM = AD

=> AM = 2/3 AD

=> AD = AM + MD = 2/3 AD + MD

=> MD = 1/3 AD = GM

=> 1/2 AM = 1/2 * 2/3 AD = 1/3 AD = GM

=> GM + GJ = AM = 1/2 AM + GJ

=> GJ = 1/2 AM

Dabei wurde ausgenutzt, dass ein gleichseitiges Dreieck in jeder Ecke einen Innenwinkel von 60° hat und die Seitenhalbierende gleich auch die Winkelhalbierende ist.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Comments

[gauss58]

Man muss wissen, dass hier der Inkreisradius halb so groß ist, wie der Umkreisradius, was man durch h - 2 * r = r , also (√(3) / 2) * a - 2 * (√(3) / 6) * a zeigen kann.

[TBDRM]

@gauss58

Meinst du, um zu zeigen, dass 2/3 AM = AD gilt, oder was meinst du jetzt?

Falls ja, dann habe ich das gerade nachgetragen - aber über einen anderen Weg.

[gauss58]

@TBDRM

Es ging um eine mögliche Erklärung für GM = 1/2 AM.

[TBDRM]

@gauss58

Ok.

Ja den Beweis habe ich nachgetragen. Aber eben über einen anderen Weg.

Answer 2

[gauss58]

In Kurzform:

1) Radius ermitteln

CD / MD = CF / FB ; CF = h = (√(3) / 2) * a und a = AB und MD = r

(a / 2) / r = h / (a / 2)

r = (a / 6) * √(3)

2) Kosinussatz Dreieck GHM

c² = r² + r² - 2 * r * r * cos(120°) ; c = GH

c = (1 / 2) * a