Wie formuliere ich folgenden Satz: "Es gibt unendlich viele Primzahlen"?

Du brauchst eigentlich nur die erste Aussage: die gilt im Rahmen der Arithmetik.

∀p.(p prim ⟶ ∃q.(q prim und q > p)).

„Für alle p ∈ ℙ gibt es q ∈ ℙ with q > p (streng).“

Die anderen sind lediglich allgemeinere Aussagen, die man verwenden würde, um zu äußern, dass eine bloße Menge (ohne jegliche Struktur) unendlich ist.

"für alle p aus der Menge der Primzahlen gibt es ein q aus der Menge der Primzahlen für das gilt q ist grosser als P"?? mir ist der Punkt völlig unklar! Sorry aber was bedeutet der Punkt zwischen dem p und der Klammer bzw. zwischen q und der Klammer? sollte es ein Doppelpunkt sein? Bei uns sah das etwas so aus, "Für Alle"/"Es gibt" "x" aus "N"/"R"/"Z"etc. ":" ....

Falls es darum geht, ℙ als Menge zu betrachten (ohne auf die Struktur zu achten), dann musst du sogar eine der anderen Aussagen verwenden. Hier in aller Allgemeinheit. Sei X eine Menge:

Definition (unendlich). X ist unendlich, wenn es eine injektive* Funktion ƒ gibt von den natürlichen Zahlen ℕ nach X.  ⊣

Definition (unendlich nach Richard Dedekind). X ist dann unendlich, wenn es eine injektive** Abbildung ƒ : X ⟶ X gibt, die nicht surjektiv*** ist. ⊣

Die erste Definition besagt also,
dass die natürlichen Zahlen als
Teilmenge von X eingebettet werden kann,
während Dedekind-unendlich heißt,
dass X in einem 1-1 Verhältnis
mit einer echten Teilmenge
von sich selbst steht.

Man ersetze nun X durch ℙ und erhält Aussagen, die besagen, dass ℙ unendlich ist.

* Mit anderen Worten, es gibt x₀, x₁, x₂, … ∈ X paarweise verschiedene Elemente mit ƒ(0)=x₀, ƒ(1)=x₁, ƒ(2)=x₂, …

** für alle x≠y in X gilt ƒ(x)≠ƒ(y).

*** der Bildbereich {ƒ(x) : x∈X} ist nicht gleich ganzem X.

was bedeutet der Punkt zwischen dem p und der Klammer bzw. zwischen q und der Klammer? sollte es ein Doppelpunkt sein? Bei uns sah das etwas so aus, "Für Alle"/"Es gibt" "x" aus "N"/"R"/"Z"etc. ":" ....

Kann schon sein. Es gibt keine universelle Konvention. Manche Logiker schreibe ∀x.blablaba andere schreiben ∀x: blablaba und viele schreiben (∀x) blablaba. Hauptsache, die formale Aussage ist eindeutig lesbar.

"für alle p aus der Menge der Primzahlen gibt es ein q aus der Menge der Primzahlen für das gilt q ist grosser als P"??   mir ist der Punkt völlig unklar!

Überleg dir doch: betrachte eine nicht leere Teilmenge A von den natürlichen Zahlen. (I) Angenommen, A wäre endlich. Dann gäbe es ein maximales Element a* in A (einfach auflisten, und das letzte Element wählen). (II) Angenommen, A wäre unendlich, dann kann es kein maximales Element geben—sonst gäbe es ein a ∈ A, so dass A ⊆ {0; 1; 2; …; a}, damit wäre A eine Teilmenge von einer endlichen Menge und somit selber endlich.

Aus (I) und (II) geht hervor, dass ein nicht leeres A ⊆ ℕ genau dann unendlich ist, wenn für jedes a ∈ A ein noch größeres b ∈ A existiere. Genau dass besagt die erste Aussage oben in meiner ersten Post.

Jetzt verstehe ich deine erste Antwort nicht. Wolltest du die Begriffe verstehen? Oder willst die zwei letzten Aussagen lediglich etwas ausführlicher in der formalen Sprache ausdrücken? Wenn dann:

(∃ƒ : ℕ⟶ℙ) ƒ injektiv

wäre etwa

∃ƒ. [
     ƒ:ℕ⟶ℙ
     und ∀x,x´∈ℕ. (ƒ(x´)=ƒ(x) ⟶ x´=x)
]

(∃ƒ : ℙ⟶ℙ) ƒ injektiv und nicht surjektiv

wäre etwa

∃ƒ. [
     ƒ:ℙ⟶ℙ und
     und ∀x,x´∈ℙ. (ƒ(x´)=ƒ(x) ⟶ x´=x)
     und ¬∀y∈ℙ.∃x∈ℙ. ƒ(x)=y
]

Deine Erklärung war ja auch schon gut. Ich habs nur mal "ausgedeutscht" - so wie der Frager es gewünscht hat ;-)

Wenn ihm diese nicht genügt - sein Problem - eine bessere kenn ich nicht und eine bessere kriegen die Studenten im Seminar auch nicht zu hören ;-)

Ja, ich ebenfalls nicht: es ist eigentlich die einfachste Aussage, die Primzahlen als Teilmenge einer linear geordneten Struktur (wo zu jedem Element x die Menge {y : y < x} endlich ist).

Ich wüsste gerne, was der Fragesteller eigentlich wollte—ob eine Aussage in der formalen Sprache der Prädikatenlogik oder lediglich eine Aussage auf deutsch… welche er schon stellte. Jetzt frag ich mich, ob es nicht eigentlich darum geht, lediglich eine äquivalente Form der Aussage zu finden.

Der Fragesteller hat Euklid schon längst verstanden. Er hat aber immer noch nicht richtig verstanden, dies mit diesen blöden Zeichen auszudrücken.. :D Gott, das ist doch keine Mathe mehr..

ok ich kann den Beweis von Euklid nun nachvollziehen. Aber wie drücke ich das denn in diesen Zeichen "Für Alle", "Es gibt", "für die gilt, dass" aus? Ich verstehe nun, warum es unendlich viele Primzahlen geben muss, kann dies aber immer noch nicht ausdrücken..

Für alle M:={p_1,...,p_n}, für die gilt (Für alle i aus {1,...n} ist  p_i  Primzahl und |M| = n) existiert ein M', für das gilt, (aus x ist Element von M' folgt x  ist Primzahl) und (M' echte Obermenge von M). 

Oder du machst es so: 

Sei P die Menge der Primzahlen. Dann gilt 

Für alle M Teilmenge von P, für die gilt |M| < unendlich, existiert eine Teilmenge M' von P, für die gilt: M' ist echte Obermenge von M. 

Sei P die Menge aller Primzahlen. Dann gilt: 

∀ M ⊆ P, |M| < ∞, ∃ M' ⊆ P: M ⊂ M'.

Meinst du das so?

Wieso brauchen alle unterschiedliche Zeichen? was bedeutet das Komma? bei uns kamen bisher nur : und Klammern vor, auch hatten wir nicht mit Mengen sondern mit x aus Menge gearbeitet. Ist ja echt zum verzweifeln.