Zahl beim Wurzel ziehen größer als vorher?
Wenn ich eine Zahl habe und davon die Wurzel ziehe, und die Zahl ist kleiner als 1, ist das Ergebnis größer als die Zahl, Wie kann das denn sein?
4 Antworten
ganz einfach, ich zeigs mal an nem Beispiel:
0,01 ist kleiner als 0,1 , richtig?
es gilt aber:
0,1=1/10
und
0,01=1/100=(1/10)*(1/10)=(1/10)^2
sagen wir, du ziehst nun die wurzel aus 0,01.
dann erhälst du als Lösung
0,1=1/10
kurz gefasst:
wenn du einen bruch hast und der nenner größer als der zähler ist, dann
wird dieser bruch beim quadrieren kleiner.
weil eben der nenner größer als der zähler ist.
und eine größere zahl quadriert ergibt eben mehr als eine kleinere zahl quadriert.
im umkehrschluss wird so ein bruch beim wurzel ziehen entsprechend größer.
und es lässt sich nahezu jede zahl zwischen 0 und 1 als bruch schreiben.
(ich wüsste zumindest nicht, dass es sowas wie pi im bereich 0 und 1 gibt)
selbst periodische zahlen lassen sich da als bruch schreiben.
ich versuch mich mal an was:
sagen wir , du hast 2 zahlen a und b mit b>a.
Dann betrachte den bruch a/b.
es gilt dass
1=b/b>a/b>a/a=0
also muss der bruch, als dezimalzahl gesehen, zwishen null und 1 liegen.
weiter gilt dann:
a/b=(a/b)*1=(a/b)*(b/b)>(a/b)*(a/b)=(a/b)^2
Damit hab ich gerade gezeigt dass wenn du einen bruch a/b hast und b>a gilt, dass dann das quadrat dieses bruches kleiner als der bruch selbst ist.
und jede zahl zwischen 0 und 1, selbst periodische zahlen, lassen sich als ein solcher bruch schreiben.
Einzige ausnahme wären so nichtperiodische zahlen mit unendlich vielen nachkommastellen, sowas wie pi,
aber von sowas habe ich im bereich von 0 bis 1 noch nie gehört.
Denke als illustration, warum zahlen kleiner 1 beim quadrieren kleiner werden, hat das gereicht
oder noch direkter:
sei k eine zahl mit 0<k<1
dann ist:
k^2=k*k<k*1=k
d.h. das quadrat von k ist kleiner k selbst.
Man kann leicht zeigen, dass das richtig ist.
Sei Z eine Zahl und W die Wurzel aus dieser Zahl (also W ² = Z ).
Behauptung: Wenn Z < 1 ist, dann gilt W > Z bzw. auf "mathematisch": Z < 1 => W > Z
Z < 1
[ 1 = 1 ², also:]
<=> Z < 1 ²
[ Die Zahl Z ist das Quadrat ihrer Wurzel, also Z = W ², daher:]
<=> W ² < 1 ²
[Auf beiden Seiten Wurzel ziehen:]
<=> W < 1
[Beide Seiten mit W multiplizieren (da W positiv ist, ändert sich die Richtung des Vergleichsoperators dabei nicht):]
<=> W * W < W
[ W * W als W ² schreiben:]
<=> W ² < W
[ Da W die Wurzel aus Z ist, ist W ² = Z, also:]
<=> Z < W
<=> W > Z
Damit ist die Gültigkeit der Behauptung gezeigt.
Da ausschließlich äquivalent umgeformt wurde, gilt übrigens auch die umgekehrte
Richtung W > Z => Z < 1 und damit insgesamt:
W > Z <=> Z < 1
Also: Dann und nur dann, wenn die Zahl Z kleiner als 1 ist, ist die Wurzel aus Z größer als die Zahl Z.
Das ist ganz logisch: Wenn du eine Zahl kleiner eins mit sich seblst multiplizierst, nummst du beispielsweise 0.9, und dann etwas weniger davon, als einmal die Zahl, nämlich 90% (= 0.9). Leuchtet ein? Du machst eine Zahl kleiner als sie ist. Beim Wurzelziehen wird eine solche Zahl natürlich größer. Bsp.: 0.25 sqrt(0.25) (Wurzel) = 0.5. Weil: wenn du 0.5² rechnest, nimmst du die hälfte von 0.5, also 0.25.
PS: Muss einem irgendwie selbst einleuchten. Ist schwierig, es einfach zu formulieren ^^
Das ist schon möglich und auch richtig. Wenn du beispielsweise die Wurzel aus 0,04 nimmst, erhälst du 0,2. Denn 0,2 mal 0,2 ist 0,04. Wenn man 2 mal 2 rechnet hat man 4 und insgesamt 2 Nachkommastellen (0,04). Wenn man also die Wurzel aus einer Zahl zieht, hat man immer halb so viele Nachkommastellen wie zuvor und somit wird die Zahl größer.