Woran erkenne ich, dass die Kurve einer ganzrationalen Funktion positiv oder negativ verläuft?
Erstmal hei :D Ich schreibe in einer Woche eine Matheklausur über ganzrationale Funktionen und ich glaube ich frage hier gerade die einfachste Frage was dieses Thema betrifft, aber ich habe viele gefragt, doch keiner wusste die Antwort. Ich habe Beispielsweise die Funktion f(x) = x^4 - 6x^2 + 3 ich muss diese Funktion einem Graphen zuordnen, der 2 einfache Nullstellen hat und die Kurve ist um 3 auf der y-Achse nach oben verschoben, denke ich. Die Funktion ist positiv und nun zu meiner eigentlichen Frage: Woran erkenne ich im Graphen/an der Kurve, dass sie negativ oder positiv verläuft?
LG Maitimo
5 Antworten
Das ist das so genannte Verhalten in der Unendlichkeit. Wenn die x genügend groß werden, spielt nur noch der höchste Grad eine wesentliche Rolle. Eine möglichst große Zahl kannst du dir ja vorstellen.
1. Fall: x ---> + ∞ ===> f(x) ---> + ∞
denn f(x) ist der gezeichnete y-Wert; eine große positive Zahl ist in 4. Potenz noch viel größer.
.2. Fall: x ---> - ∞ ===> f(x) ---> + ∞
natürlich, denn schon bei Quadrierung ist es positiv
Eine Funktion 4. Grades ohne Vorzeichen vor der höchsten Potenz hat also links und rechts einen positiven Ast ins Unendliche.
Das ist bei ungeraden Funktionen anders, das musst du dir dann überlegen.
Manche streben auch gegen Null. Das ist im Augebvlick aber nicht unser Thema.
Wenn Ich das richtig verstanden habe meinst du dass Verhalten bei x gegen unendlich/-unendlich.
Man guckt sich die Funktion an und sieht schnell, dass x^4 wesentlich schneller als -6x^2 wächst. D.h. man kann bei einer Betrachtung von x gegen undendlich/-unendlich -6x^2 vernachlässigen.
x^4 läuft bei x gegen unendlich gegen unendlich (logischerweise) und somit positiv
x^4 läuft bei x gegen -unendlich (x-Achse nach links) gegen -unendlich also negativ
Die Funktion kommt also aus dem negativen und läuft ins positive
EDIT: Wenn der Graph bei größeren x Werten nach unendlich läuft, bedeutet das, dass der größte Grad der Funktion (im Beispiel x^4) positiv ist.
Also x^4 - blabla + blabla
y=x^4 - 6 * x^2 + 3
3 verschiebt nur den Graphen nach oben
maßgeblich ist nur x^4 und - 6 * x^2
wenn sich diese Ausdrücke aufheben ist y ca. 0
für große Werte für x ist x^4 eh viel größer,als die anderen Werte
Wegen x^4 ergeben negative,x- Werte positive y-Werte,außer in einen kleinen Bereich
Mein Funktionsrechner spuckt folgende Werte aus x=0 y=3 , x=0,63 y=0,74 ,x= - 1,9 y= - 5,6 ,x= - 2,5 y= 5,9
Für alle anderen x- Werte ist y positiv
Du kannst nur eine Schätzung machen,wenn man es genau wissen will muss man den Graphen aufzeichnen
Bestimme zuerst die Nullstellen von f(x). Das ergibt eine biquadratische Gleichung.
Substituiere x² = z. Dann löse z² - 6z + 3 = 0 . Lösung z = 3 ± √6 .
Es gibt also 4 Lösungen für x = ± √z . Das ist die Maximalzahl von Nullstellen
einer grF 4. Grades, daher sind es alles einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Da f(x) außerhalb der Nullstellen positiv ist (s. Ellejolka & Volens),
kann man jetzt die Bereiche angeben, in denen f(x) pos. bzw. neg. ist.
du guckst dir nur den Term mit dem höchsten Exponenten an → x^4
dann (+ oo)^4 = +oo
und (-oo)^4 = +oo
also kommt der Graph links aus dem Positiven und geht rechts auch ins Positive.