Wie zeigt man, dass die ganzen Zahlen abgeschlossen sind im reellen Raum?
Meine Idee einer Erklärung:
Wäre Z (ganze Zahlen) abgeschlossen, dann wäre das Komplement R/Z (R ohne Z) offen und somit gäbe es zu x aus R/Z ein Epsilon e > 0 mit U(e, x) (Epsilon-Umgebung von x), sodass U(e, x) c R/Z (Epsilon-Umgebung Teilmenge vom Komplement), was sicherlich der Fall ist, da man das Epsilon beliebig klein wählen kann, sodass keine ganzen Zahlen in der Epsilon-Umgebung enthalten sind.
Ist das ein korrekter Beweis?
2 Antworten
Wäre Z (ganze Zahlen) abgeschlossen, dann wäre das Komplement R/Z (R ohne Z) offen ....
Die Idee ist richtig, wie Jangler13 schon bemerkt hat, allerdings fängst du an, als würdest du das Gegenteil beweisen wollen. Schreibe besser, "ich zeige dann R/Z offen ist, woraus die Abgeschlossenheit von Z folgt ....".
Korrekt, du kannst die Abgeschlossenheit von Z mit der Offenheit von R/Z beweisen.
Überlege dir dazu, wie du den Radius vom Epsilon Ball von x aus R/Z wählen musst.
Tipp, wie du das R konstruieren kannst:
Wie lauten die beiden ganzen Zahlen die am nächsten zu liegen (bzw wie kannst du die in Abhängigkeit von x darstellen?).
Die Distanz von x zu diesen beiden Zahlen ist größer als 0. Wähle nun den Radius in Abhängigkeit von den beiden Distanzen.
Könnte man das Epsilon wählen als e = min(x abgerundet, x aufgerundet)/2 ???
Sorry e = min(x abgerundet - x; x aufgerundet -x)/2
Mit dem Aufrundungszeichen und Abrundungszeichen? Also |_x_| für Abrundung zB