Wie lautet das explizite Bildungsgesetz zu der Folge 0, 4, 16, 52,.. bei der die rekursive Darstellung an=3*(n-1)plus4?

Sicher dass das erste keine 1 sein soll?
Denn dann wäre das Ganze einfach an=4^n.
Du wirfst hier auch manches durcheinander,
an=3*(n-1)+4 ist eine explizite Darstellung.
Ihre ersten glieder lauten
1,4,7,10,13.

Diese Formel für an ist also einerseits eine explizite, keine rekursive Darstellung (rekursive Darstellung a(n+1)=Irgendwas abhängig von a(n)).
Andererseits hat es rein gar nichts mit der Folge mit den Gliedern
0,4,16,52,... zu tun.

Letztgenannte Folge weiß ich auch keine Darstellung, denn wegen des ersten gliedes sehe ich da kein Bildungs gesetz.
Wäre es 1,4,16,.. dann wäre a(n+1)=4*a(n) (=Rekusive Darstellung) und a(0)=0.
Und a(n)=4^n.

Aber da hier 0 anstelle von 1 steht, gibt es hier wahrscheinlich kein Bildungsgesetz.
oder es ist so kompliziert, dass man es nicht so leicht erraten kann.

Diese falsche Formel entsteht, wenn man uneindeutig schreibt. Eindeutige Schreibweise für rekursive Folgen sind eckige Klammern, um den Index (also das wievielte Glied) deutlich zu erkennen:

a[n+1]=a[n]*3+4

für den Iterationsrechner mit der Feldvariable aB und der Laufvariable i lautet es dann:

aB[i+1]=aB[i]*3+4;

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#x*(x*(2*x-3)+4)*4/3@N@B0]=0;@N@Bi+1]=@Bi]*3+4;@Ci]=@P3,i)*2-2;aD[i]=Fx(i);@Ni%3E9@N0@N0@N#

(LINK endet mit N# )

siehe Bild

Merke: aus einem konst. Faktor (also Quotient 2er benachbarter Glieder) zum Vorgänger wird bei geometrischen Folgen eine Potenz:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Folge

Selbst wenn davon keine Ahnung hat, kann man aus Vorgänger *3

einfach a[n]=k*3^n+offset schreiben, was man mit einem Gleichungssystem schnell k und Offset herausbekommt (2 und -2).

Hinweis1: Das Bildungsgesetz für die Folge 0, 4, 16, 52,... könnte auch 

x*(x*(2*x-3)+4)*4/3 oder ganz anders lauten, da es ohne Randbedingungen unendlich viele Lösungen gibt.

Hinweis2: bei Arithmetischen Folgen ist es analog: aus einer konst. Differenz wird ein konst. Faktor.

das ist doch gar keine rekursive Form, sondern eine explizite Form;

und für die Folge stimmt das Gesetz auch nicht.

Ellejolka hat sicher recht. Ebensogut hättest du fragen können: Wieviele kg schlafen 3 Hühner auf dem Weg nach vorgestern? Bei genauerem Hinsehen kann man aber doch noch einen Sinn in deiner Frage erkennen.

Die angegebene Folge entspricht dem (in der Tat rekursiven) Gesetz

a(n) = 3 * a(n-1) +4 mit dem Anfangswert a(0)=0.

Hieraus ergibt sich das explizite Bildungsgesetz:

a(n) = 2 * (3^n - 1)

wie man z.B. durch vollständige Induktion leicht verifizieren kann.