Wie kann ich beweisen, dass 4 Vektoren in einer Ebene liegen? (Spatprodukt?)
hallo, ich sitzte schon seit 2 Stunden und komme einfach nicht auf die Lösung...
ich will nur den Lösungsweg wissen, mehr nicht...
gegeben:
A(5/7/-2) , B(3/1/-1), C(9/4/-4), D(1/5/0)
Frage:
Zeigen Sie, dass diese Punkte in einer ebene liegen.
(Benutzen Sie dabei ein geeignet gewähltes Spatprodukt)
PS: a b c d sind Vektoren, SP= Skalarprodukt, KP= Kreuzprodukt
meine Idee:
a SP ( b KP c)
Ergebnis = 15 und jetzt?? was soll ich mit 15 machen??
ich könnte auch noch b SP ( c KP d) machen, aber was bringt es mir, ich muss es doch irgendwie beweisen???
3 Antworten
Sei a = A-B, b = A-C, c = A-D.
Bilde nun das Spatprodukt der drei Vektoren a,b und c. Dieses gibt das Volumen des von a,b und c aufgespannten Spats an. Wenn dieses Volumen 0 ist, dann liegen die drei Vektoren in einer Ebene und folglich die vier Punkte auch.
yap Volumen = 0 :D danke das hat mir sehr geholfen, ich hoffe du könntest paar Sätze schreiben, wie du drauf gekommen bist?? Gruß
Genialität? :-)
Nein, im Ernst, ich kann nicht genau sagen, warum ich daran gedacht habe, aber das Spatprodukt kann man zur Volumenberechnung benutzen, und die vier Punkte könnten ja vier Punkte eines Spats sein, es sei denn, sie lägen in einer Ebene.
Wenn alle Vektoren auf einer Ebene liegen, müssen alle ihre Winkel auf irgendeiner Ebene gleich sein.
.
Ich vermute, dass Du die Formel umstellen musst. Ich habe keine Ahnung von Spatprodukten, aber da war doch irgendwo ein Sinus? Damit musst Du arbeiten.
also mein Tipp wäre: mit A,B,C die Parameterform der Ebene aufstellen und dann mit Gleichsetzen von D zeigen, dass D in der Ebene liegt.
hmm... ok, meinst du so was
http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/ebenen/UmEbenenUebimages/IMG0970.PNG
wenn ich Parameterform anwende und mit D gleichsetzte, muss ich vor D auch etwas setzen, ich meine LAMBDA??
mE musst du da kein lamda setzen, sondern nur gucken, ob r und s eindeutig rauskommen.
aber ich muss ein geeignetes Spatprodukt bilden??
sorry, ist es Vektor AB oder A minus B ??