Wie beweist man, dass exponentielles Wachstum das polynomielle Wachstum "schlägt"?

Hallo,

konkret soll für a>1, b>0 gezeigt werden, dass x^b/a^x für x-->unendl. gegen 0 geht.

Ich befinde mich im Kapitel "Exponentialfunktion, Logarithmus, Allgemeine Potenz". Wie lässt sich das beweisen?

Answer 1

[Quotenbanane]

Okay, L'Hospital und Differentialrechnung darf man scheinbar nicht verwenden. Im Netz bin ich auf etwas interessantes aufmerksam geworden.

Du willst zeigen, dass...

$\lim_{\left\{n\rightarrow\infty\right\}}\frac{n^b}{a^n}=0$

Dazu musst du folgendes beachten...

$a^n=e^{n\cdot\log\left(a\right)}=1+n\cdot\log\left(a\right)+...+\frac{\left(n\cdot\log\left(a\right)^b\right)}{b!}+...$

$\frac{a^n}{n^b}=\frac{e^{n\cdot\log\left(a\right)}}{n^b}=\frac{1}{n^b}+\frac{\log\left(a\right)}{n^{b-1}}+...+\frac{n\left(\log\left(a\right)^{b+1}\right)}{\left(b+1\right)!}+...$

Daher muss gelten...

$\frac{a^n}{n^b}\ge\frac{n\left(\log\left(a\right)\right)^{b+1}}{\left(b+1\right)!}$

Das schreiben wir um...

$\frac{n^b}{a^n}\le\frac{\left(b+1\right)!}{n\cdot\log\left(a\right)^{b+1}}$

Da b und a Konstanten sind, fällt uns folgendes leicht...

$\lim_{\left\{n\rightarrow\infty\right\}}\frac{\left(b+1\right)}{n\cdot\log\left(a\right)^{b+1}}=\ \frac{\left(b+1\right)}{\log\left(a\right)^{b+1}}\cdot\lim_{\left\{n\rightarrow\infty\right\}}\ \frac{1}{n}$

$\Rightarrow\ \frac{\left(b+1\right)}{\log\left(a\right)^{b+1}}\cdot0=0$

Da 0 ebenso das Infimum der Folge ist, gilt nach dem Sandwichsatz, dass...

$0\le\lim\frac{n^b}{a^n}\le\frac{\lim\left(b+1\right)}{n\log\left(a\right)^{b+1}}=0$

$\Rightarrow\lim_{\left\{n\rightarrow\infty\right\}}\ \frac{n^b}{a^n}=0$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Answer 2

[MaxChemieNoob]

Über L'Hopital geht das, leite die Funktionen ab und schau welche der beiden Anleitungen schneller wächst

Comments

[Fachkunde]

Ohne L'Hospital.