wie bestimme ich die beiden Grenzwerte?

a) L = $\lim x->1\ \ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln\left(x\right)}$

b) M =

$\lim\ x->\ \inf\ \ e^x\cdot\sin\left(e^{-x+5}\right)$

inf steht für unendlich

Answer 1

[mihisu]

Bei Teilaufgabe a) könnte man beispielsweise zunächst alles auf einen Bruchstrich bringen und dann zweimal L'Hospital verwenden...

$\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln\left(x\right)}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{x\cdot \ln\left(x\right)}{\left(x-1\right)\cdot \ln\left(x\right)}-\frac{x-1}{\left(x-1\right)\cdot\ln\left(x\right)}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x\cdot \ln\left(x\right)-x+1}{\left(x-1\right)\cdot \ln\left(x\right)}$

$\overset{\text{L'Hospital}}{=}\lim\limits_{x\to 1}\frac{1\cdot \ln\left(x\right)+x\cdot \frac{1}{x}-1}{1\cdot \ln\left(x\right)+\left(x-1\right)\cdot \frac{1}{x}}$

$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(x\right)+\left(x-1\right)\cdot \frac{1}{x}}$

$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x\cdot\ln\left(x\right)}{x\cdot\ln\left(x\right)+x-1}$

$\overset{\text{L'Hospital}}{=}\lim\limits_{x\to 1}\frac{1\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot \frac{1}{x}}{1\cdot\ln\left(x\right)+x\cdot \frac{1}{x}+1}$

$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln\left(x\right)+1}{\ln\left(x\right)+2}$

$=\frac{0+1}{0+2}$

$=\frac{1}{2}$

Bei Teilaufgabe b) kann man den Term auch als Bruch schreiben und dann mit L'Hospital arbeiten...

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\text{e}^{x}\cdot \sin\left(\text{e}^{-x+5}\right)\right)$

$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\text{e}^{-x+5}\right)}{\text{e}^{-x}}$

$\overset{\text{L'Hospital}}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\cos\left(\text{e}^{-x+5}\right)\cdot \text{e}^{-x+5}\cdot\left(-1\right)}{\text{e}^{-x}\cdot \left(-1\right)}$

$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\cos\left(\text{e}^{-x+5}\right)\cdot \text{e}^{5}\right)$

$=\cos\left(0\right)\cdot \text{e}^{5}$

$=1\cdot \text{e}^{5}$

$=\text{e}^{5}$

Comments

[TimoK777]

Danke für die Erklärung!