Was sind genau Haupträume und wieso brauche ich diese(Lineare Algebra)?
Ich bin gerade bei dem Thema Jordan-Normalform und da braucht man diese "Haupträume" um irgendwie die Jordan-Basis zu bestimmen aber irgendwie verstehe ich gar nicht was diese Haupträume überhaupt sein sollen, wieso ich diese unbedingt brauche, um die Jordan-Basis bestimmen zu können. Was Eigenräume sind weiß ich, aber was diese Haupträume sollen, ist mir nicht so richtig klar. Wäre gut, wenn mir jemand mal den Zweck eines Hauptraums erklären könnte.
MfG
2 Antworten
Ich kenn nicht eure verwendete Notation und allgemein ist gutefrage nicht die beste seite für mathematische Symbole (oder ich kenn mich nicht gut genug aus, um welche einzubetten). Aber ich versuch mein bestes:
Hier ist f unsere Abbildung die wir in JNF bringen wollen und A ist die darstellende Matrix von f. Nun soll t ein Eigenwert von f sein. Für jeden Eigenwert wollen wir die Basis eines Hauptraums bestimmen. Was ist also ein Hauptraum?
H(t) := Vereinigung über alle i aus IN von: Kern((f-t*id)^i)
Das ist die Definition. Das ist also der Hauptraum. Was machen wir, wenn wir das ausrechen wollen? Wir berechnen einfach Kern(f-t*id)^i. Dazu schreiben wir zunächst das ganze als Matrizen, statt als lineare Abbildungen. Wir schreiben also statt f-t*id folgende Matrizen: A - t*En (hierbei soll En die Einheitsmatrix sein, da die Darstellungsmatrix der Identität die Einheitsmatrix ist). Schreiben wir nun B:= A-t*En.
Da wir den Kern ausrechnen wollen ist dies bei Matrizen das gleiche, als würden wir einfach ein homogenes lineares Gleichungssystem ausrechnen: L(B, 0). Aber wir sollen den Kern für die i-fache hintereinanderausführung ausrechnen. In Matrizen bedeutet das einfach, dass wir B^i ausrechnen. Dann suchen wir nun L(B^i, 0).
Gut, wir haben jetzt die Formel oben fast in Matrizen ausgedrückt und können das nun leicht ausrechnen, denn wenn wir L(B^i, 0) für alle i ausrechnen, dann wird uns auffallen, dass sich irgendwann die Lösungsmenge nicht mehr ändern wird. Wir müssen also nur so viele i's durchgehen, bis sich L(B^i, 0) nicht mehr ändert. Die Vereinigung dieser L(B^i, 0) ist dann unser Hauptraum von dem einen Eigenwert.
Warum berechnen wir diese nun? Nun, wäre f diagonalisierbar, so müssten wir nur L(B^1, 0) ausrechnen, das wäre der Eigenraum von dem Eigenwert von t. Für L(B^2, 0) etc. würde sich die Lösungsmenge nicht unterscheiden. In dem Fall wäre also unser Hauptraum der Eigenraum. Es sind aber nicht alle f diagonalisierbar. Das heißt, wenn wir L(B^1, 0) ausrechnen, bekommen wir zu wenig Eigenvektoren für eine komplette Basis unseres Vektorraums. Wir brauchen also mehr Vektoren. Und dafür berechnen wir halt den gesamten Hauptraum, indem wir auch L(B^2, 0) etc. berechenen, bis sich der Hauptraum nicht mehr ändert. Denn wenn wir nun für jeden Hauptraum aller Eigenwerte von f eine Basis finden, können wir diese zu einer Basis unseres Vektorraums vereinigen, denn wir haben nun genug Vektoren.
Noch hat das ganze aber nicht die Jordan-Normalform. Daher suchen wir innerhalb unseres Hauptraums eine ganz bestimmte Art von Basis. Nennen wir die Basis C.
C := { u1, B*u1, B^2*u1, ..., B^a(1)*u1, u2, B*u2, ... , B^a(2)u2, ... , uk, B*uk, ... , B^a(k)*uk}
Wenn f diagonalisierbar wäre, dann wäre unsere Basis insbesondere:
C = { u1, u2, ..., uk }
Was man sich jetzt bei der JNF überlegen kann ist, dass immer u1, ... , B^a(1)*u1 und so weiter einen Jordan-Block zu dem Eigenwert bilden. Daran sehen wir dann auch die Länge des jeweiligen Jordan-Blocks. Also ist k insbesondere die Anzahl der Jordan-Blöcke.
Jetzt berechnest du diese Basen für jeden Eigenwert und fügst sie zusammen, dann hast du eine Basis, die dir die Jordan-Normalform von f liefert. Ist also viel rechnen, bei dem man auch immer irgendwo einen kleinen dummen Fehler machen kann. Achso, ich habe jetzt hier nicht angegeben, wie man die Basis C allgemein ausrechnet, aber vielleicht steht das ja bei euch im Skript und das hier hat erstmal weitergeholfen und ist auch schon schwer zum Verdauen.
Ich empfehle auch hier diesen Artikel: "Kochen mit Jordan" (der Artikel erklärt das aber evtl. ein wenig anders als ich, da ich mich eher an meinem Skript gehalten habe).
https://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
Ich bin mir nicht 100% sicher, ob das alles was ich hier geschrieben habe richtig ist, aber ich meine, so müsste es sein. Ich lerne auch gerade für die Klausur, also hat mir das jetzt auch ein bisschen geholfen noch mal den Stoff durchzugehen, danke^^
Kurz: die verallgemeinern zu einem hinreichenden Maße die Eigenräume, und bekommen das hin, was Einenräume leider nicht immer schaffen, und das ist es, einen VR in T-invarianten UVR zu zerlegen.
Längere Antwort:
Sei U ein (ggf. endlich dimensionaler) Vektorraum über Körper IK und T : U ⟶ U linear, m. a. W. T ∈ End(U)
Der „Gebrauch“ von Unterräumen wie Eigenräume besteht darin, den Raum U auf eine sinnvolle Weise zu zerlegen:
U = U1(+)U2(+)…(+)Un
mit Bezug auf T. Was heißt hier sinnvoll?
- Die Ui sollen T-invariant sein, d. h. T(Ui) ⊆ Ui, oder äquivalent: der Operator T | Ui soll ein Operator in End(Ui) sein für alle i;
- Die Ui sollen irreduzibel sein, d. h. die einzigen T-invarianten UVR von Ui sollen nur die trivialen UVR {0} und Ui sein;
- Die Summe U1(+)U2(+)…(+)Un soll eine direkte Summe sein, d. h. Ui ∩ Uj = {0};
- Die Summe U1(+)U2(+)…(+)Un soll U überdecken, d. h. U1(+)U2(+)…(+)Un = U soll gelten.
Wenn wir die Eigenräume betrachten, gelten 1–3 (Aufgabe für dich!), aber allgemein nicht 4.
Nun, die Eigenräume sind der Form ker(T–c·I) für verschiedene Skalare c. Hier kommt die Überleitung. Man betrachten anstelle solcher linearen Faktoren, quadratische Ausdrücke so T^2 – c, und allgemein polynomen.
Wie macht man das? Sei p ∈ IK[X] der Form p0·X^0 + p1·X^1 + … +pn·X^n. Dann definiere p(T) durch ∑pi·T^i. Es ist einfach zu sehen, dass
α : p ∈ IK[X] ⟼ p[T] ∈ End(U)
ein „Homomorphismus“ ist, d. h.
1(T) = I
(cp)(T) = c·p(T)
(p+q)(T) = p(T) + q(T)
(p·q)(T) = p(T)q(T)
für alle p, q ∈ IK[X], c ∈ IK. Jetzt verallgemeinern wir ker(T–c), d. h. ker(p(T)) für p ein lineares Polynom. Betrachten wir stattdessen ker(p(T)) für p ∈ IK[X] ein allgemeines Polynom. Wir haben für u ∈ ker(p(T)) gilt
p(T)Tu = (p(T)T)u = (p·X)(T)u = (X·p)(T)u = (Tp(T))u = T(p(T)u) = T0 = 0,
sodass Tu ∈ ker(p(T)). D. h. ker(p(T)) ist ein T-invarianter UVR von U für alle Polynome, p. Großartig! Können wir diese Räume zusammenflicken, um eine passende Zerlegung zu finden, d. h. so dass 1–4 gelten? Wir haben bereits Mittel für 1 verschafft, ich überspringe 2–3 und ziele direkt auf 4.
Wir betrachten nun ker(α), d. h. die Menge der Polynomen p, so dass α(p) = p(T) = 0.
SATZ 1. ker(α) ist nicht trivial: es gibt ein (nicht triviales) Polynom, p mit 0 < Grad(p) ≤ dim(U), so dass p(T) = 0.
SATZ 2. Es gibt ein (eindeutiges) „minimales“ Polynom r mit Leitkoeffizienten 1, so dass r(T) = 0. D. h. für alle p mit p(T) = 0, gilt r | p (bzgl. Polynomdivision).
Jetzt nehmen wir an, IK algebraisch abgeschlossen ist, wie ℂ (aber es gibt viele andere exotische Körper, die algebraisch abgeschlossen sind). Dann können wir r aufschreiben als ein Produkt als „irreduziblen“ linearen Faktoren:
r = (X – λ1)^e1 · (X – λ2)^e2 · … · (X – λn)^en
wobei e1, e2, … , em positive ganze Zahlen sind und λ1, λ2, …, λn ∈ IK die Nullstellen von r sind. Jetzt setzen wir.
Ui := ker(qi(T)), wobei qi = (X–λi)^ei, d.h. Ui = ker((T–λi)^ei)
Ich zeige, dass U1+U2+…+Un = U. Sei also u ∈ U fixiert. Zu zeigen: u = u1+u2+…+un für ui ∈ Ui. Setze nun
qi := das Produkt aus alle (X–λj)^ej für alle j ≠ i.
Da die λi verschieden sind, hat die Familie (q1,q2,…,qn) keinen gemeinsamen Teiler außer 1. Laut des kgT-Theorems existieren dann Polynome (du musst etwas Zahlentheorie/Algebra hierfür kennen), p1, p2, …, pn ∈ IK[X], so dass
∑ pi·qi = 1,
also ∑ pi(T)qi(T) = I mittels des Homomorphismus
also ∑ pi(T)qi(T)u = u.
Setze ui := pi(T)qi(T)u. Dann u = u1+u2+…+un. Es bleibt zu zeigen, das ui ∈ Ui für alle i. Es gilt nun
(T–λi)^ei ui
= (T–λi)^ei pi(T) qi(T) u
= ((X–λi)^ei · pi · qi)(T) u
= (pi · (X–λi)^ei · qi)(T) u
= (pi · r)(T) u, per Konstruktion von qi
= pi(T)r(T)u
= pi(T)0 = 0, weil r das Minimalpolynom von T ist.
Also gilt ui ∈ ker((T–λi)^ei) = Ui, wie zu zeigen war. Also gilt 4.
Man kann 3 anhand der Minimalität von r beweisen.
2 gilt allgemein nicht. Dennoch ist es leicht zu sehen, dass die T-invarianten Unterräume von Ui alle der Form ker((T–λi)^c) sind für 0≤c≤ei.