Was bedeutet die Cauchy-Schwarze Ungleichung anschaulich?
Also die Ungleichung sagt ja aus, dass der Absolutbetrag des Skalarproduktes zweier Vektoren kleiner oder gleich dem Produkt der Normen der einzelnen Vektoren ist... wie kann man das anschaulich interpretieren und wofür wird diese Gleichung hauptsächlich angewendet?
4 Antworten
Ich würde mir erstmal überlegen was das Skalarproduk anschaulich bedeutet, das erklärt z.B. Lovisach hier recht anschaulich: https://youtu.be/Ml7W4HtDPlc?t=156
Und damit wird eigentlich auch sofort klar warum die Ungleichung gelten muss, denn bei der Projektion kann ja nur etwas an Länge verloren gehen - es muss also immer kleiner oder im besten Fall gleich sein ;)
Man könnte sagen, dass der gemeinsame Richtungsanteil zweier Vektoren immer kleiner (oder gleich) ist wie die Längen der beiden Vektoren addiert.
Angewendet wird die CSU z.B in der linearen Algebra bei euklidischen Vektorräumen
das wäre doch die Dreiecksungleichung, oder nicht? Hier wird ja das Skalarprodukt mit den einzelnen Längen verglichen..
In einer geometrischen Analogie kann man den Betrag eines Skalarproduktes als Flächeninhalt eines gewissen Parallelogramms betrachten, dessen Seitenlängen den Beträgen der beiden beteiligten (Faktor-) Vektoren sind. Die CS-Ungleichung besagt dann, dass dieser Flächeninhalt höchstens so groß werden kann wie der eines Rechtecks mit diesen Seitenlängen.
Je nach betrachtetem Vektorraum kann aber diese geometrische Betrachtungsweise etwas abstrakt werden.
Stell dir ein Dreieck ABC vor. Es ist kürzer die Strecke AC zu gehen als AB und BC.
Da sehe ich keine direkte Verbindung oder Analogie zur Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Es macht schon einen Unterschied, ob man Produkte oder Summen vergleichen will. Oder willst du da irgendwie Logarithmen einbringen ? Wenn ja, wie ?
du bist ein 1. Semester, wenn man keine Ahnung hat, dann besser nix sagen
Das ist die Dreiecksungleichung und hat wenig bis nichts mit der CS-Ungleichung zu tun.
Und ja, man kann die Dreiecksungleichung mit CS beweisen, aber andersrum wirds schwierig und anschaulich ist es auch etwas anderes...
Verallgemeiner die Ungleichung