Wann und wofür benutze ich einen Vorzeichenwechsel und wann die 2. Ableitung?
Wann und wofür benutze ich einen Vorzeichenwechsel und wann die 2. Ableitung? Was benutze ich als erstes?
5 Antworten
die 2. ableitung gibt dir die art der krümmung von f an.
das vorzeichenwechsel der 1. ableitung einer funktion f kennzeichnet ein extrempunkt in f!!!
manchmal kommt du auf f''(a)=0, dann bist du gezwungen, die 1. ableitung auf vorzeichenwechsel zu prüfen.
Die zweite Ableitung benutzt man für Extrema und das Vorzeichenwechsel ist soweit ich weiß nur bei Polstellen.
Beide Methoden sind gleichberechtigt und gehen immer. Es kommt auf den speiellen Fall, was schneller geht.
Merke Dir einfach: Die Ableitung an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangente an die Funktion bei x0. Zeichne Dir also eine Funktion, sowie die Ableitungsfunktion, dann ist der Rest eigentlich selbsterklärend. Es bringt nichts irgendeinen Mist auswendig zu lernen.
Schau Dir als Beispiel das Bildchen an. Hier ist eine Funktion 3. Grades und ihre ersten beiden Ableitungsfunktionen. Wo die Funktion einen Extremwert hat, da hat die Ableitungsfunktion eine Nullstelle. Die Tangentensteigung ist also Null... USW.
Beim Maximum von f(x) bei x = xm ist f'(xm)=0 und die Steigung der Tangente an f'(x) ist bei xm (xm steht für Xmaximum) negativ, was man an der Ableitung der Ableitung also f''(xm) erkennt. Würdest Du also eine Tangente an f'(x) bei xm anlegen, wäre die Steigung negativ.
Ich hoffe das klärt die Sache mit dem Vorzeichen. Beim Minimum von f(x) ist f''(x) positiv...
in der Schule wird erst über Vorzeichenwechsel die Art der Extrema untersucht und danach wird es dann mit der 2. Ableitung gamacht. Wenn der Lehrer es nicht vorgibt, kannst du es immer mit der 2. Ableitung machen, geht mE schneller und bequemer.