VxV 2ndimensionaler Vektorraum?
Hallo!
Bei meiner Hausaufgabe kam folgende Aufgabe
Alle andren Aufgaben haben sofort geklappt, nur hier finde ich gar keinen Ansatz. Was wäre bspw. mit V=R2 dann wäre R2xR2 doch einfach wieder R2 ofer nicht? Ich verstehe die Aufgabe null könnte mir jemand eventuell einen Ansatz geben? Vielen Dank fürs Lesen <3
2 Antworten
Du brauchst nur zu zeigen, dass die Vektoren (v_i, 0) und (0, v_j) mit v_i, v_j aus V eine Basis von VxV bilden. Das sind 2n Vektoren, und somit ist VxV 2n-dimensional.
Und nein: R^2xR^2 = R^4… :-)
VxV besteht aus geordneten Paaren (v,w), wo v und w jeweils Vektoren aus V sind…
Ein Hauptpunkt vergessen: du zeigst nur Falls V×V ein Vektorraum ist ,dann ist.er 2n dim.
Die anderen Vektorraum-Eigenschaften erbt VxV durch die Vektorraum-Eigenschaften von V sowie dadurch, wie die Addition und die skalare Multiplikation der geordneten Paare (v,w) in VxV lt. Aufgabe definiert sind. Man kann man natürlich nochmal nachprüfen, dass alle Vektorraum-Axiome erfüllt sind, ist aber reine Schreibarbeit…
Es ist nun mal Teil der Aufgabe. Verstehe das Kommentar nicht wirklich. Schreibe ja in meiner Antwort das der Detailgrad vom Vorwissen abhängt. Kannst mir auch ganz leicht machen und sagen V isomorph K 2n Beweis Ende. Zumal fehlt doch zumindest der Hinweis das die Eigenschaften vererbtcsind- ihr Kommentar wirkt so als ob ercüber Unzulänglichkeiten in ihrem Scheinbeweis hinwegtäuschen versucht
Der Fragesteller hat in seiner Frage um einen Ansatz gebeten und nicht darum, ihm seine Hausaufgaben druckfertig hinzuschreiben - den Ansatz habe ich geliefert…
Das ist ein 0815 Beispiel
Der Linag1 Beweis ist meist der selbe- es einen Ansatz zu nennen ist schon übertrieben
1.Axiom überprüfen(durch einfaches einsetzen)
abelsche Gruppe z.B ( v+w)+ u= u+(v+w)
Verträglichkeit mit Körperoperationen z.B y(v+w)=yv+yw usw.
Der Detailgrad hängt vom Wissensstand ab
2. Dimensionalität Da n= dim V ist der Beweis relativ klar: Bilde aus einer Basis von V eine doppelt so lange Basis von V×V konstruiert
Wobei die Angabe komisch ist da + ja a priori keine Vektoradition ist.
ALTERNATIV: zeige das V isomorph K^ n (*) K ^ 2n und V×V Isomorphismus sind. Setzt natürlich voraus das man (*) weiß..Würde das bei der Übung als Alternative angeben ohne auszuführen)
Alternative 2(=Kathegorientheorie) Fortgeschritten.
TIPP/ Skilltraining: Überlegen ob alles auch den Fall n=0 einschließt
Okay, danke👍🏻 Aber ich verstehe nicht ganz, was hier addiert wird bzw was du meinst. 🤧 Also welcher Vektor ist jetzt v1 und welcher v2 usw? Ist es nicht eine Eigenschaft von Vektorräumen, dass, wenn vi vj in V sind auch vi+vj in V ist?