Stochastische Unabhängigkeit (Mathe Aufgabe) Hilfe?
Bei einer Sicherheitskontrolle an einem Flughafen wird bei ca. jedem fünfzigsten Handgepäckstück Alarm ausgelöst, dass sich ein verbotener Gegenstand in diesem Gepäckstück befindet. Bei jedem zwanzigsten Gepäckstück, bei dem der Alarm ausgelöst wurde, stellt sich anschließend heraus, dass es einwandfrei ist. In ca. jedem zweitausendfünfhundertsten Gepäckstück befindet sich ein verbotener Gegenstand, welcher ohne Alarm die Sicherheitskontrolle passiert.
1)Sind die Ereignisse E =”zufällig ausgewähltes Gepäckstück ist einwandfrei“ und A =”zufällig ausgewähltes Gepäckstück löst Alarm aus“ stochastisch unabhängig?
2) Wie viel Prozent der Gepäckstücke mit verbotenen Gegenständen bleiben bei der Sicherheitskontrolle unentdeckt?
Das Thema mit Wahrscheinlichkeiten fällt mir sehr schwer. Ich weiss leider garnicht wie ich hier was aufstellen und berechnen soll. Wäre über jeder Hilfe dankbar!
2 Antworten
Das erste, was man bei solchen Aufgaben macht ist ein Baumdiagramm oder, meist besser/einfacher, eine Vierfeldertafel.
Dazu musst Du erst einmal aus der Aufgabe rauslesen, welche 2 "Eigenschaften" betrachtet werden. Hier sind es "Alarm/kein Alarm" und "einwandfrei/nicht einwandfrei(verboten)".
Vierfeldertafel: Bei jedem 50. Gepäckstück wird Alarm ausgelöst, d. h. die Summe von "Alarm" ist 1/50, also von "kein Alarm" 49/50 (hinten die Summen müssen ja addiert immer 1 (=100%) ergeben.
Von diesen insgesamt 1/50, bei denen Alarm ausgelöst wird, ist jedes 20. Gepäckstück einwandfrei, d. h. in die Zelle "Alarm/einwandfrei" kommt die Wahrscheinlichkeit 1/20 von 1/50, also 1/1.000; entsprechend ist bei den übrigen 19/20 von 1/50, also bei 19/1.000 der Alarm korrekt.
Dann ist noch die Wahrscheinlichkeit der Zelle "kein Alarm/nicht einwandfrei" angegeben, nämlich 1/2.500.
Damit kann dann die gesamte Vierfeldertafel ausgefüllt werden:
.....................Alarm........kein Alarm.....Summe
einwandfr..1/1.000..9.796/10.000..9.806/10.000
nicht einw....19/1.000......1/2.500......194/10.000
Summe..........1/50............49/50.................1
Das fettgedruckte sind die Vorgaben, alles andere ergibt sich daraus durch Addition.
1) stochastisch unabhängig bedeutet "mathematisch" (hier), dass P(A und E)=P(A)*P(E) gelten müsste.
P(A und E) ist die Zelle "Alarm/einwandfrei", also 1/1.000. P(A)=1/50 und P(E)=9.806/10.000, also P(A)*P(E)=1/50*9.806/10.000=0,019612≠1/1.000 => die Ereignisse A und E sind stochastisch abhängig.
2) hier ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass kein Alarm ausgelöst wurde, unter der Bedingung, dass das Gepäckstück nicht einwandfrei ist, also nach P_nE(nA).
P_nE(nA)=P(nE und nA)/P(nE)=1/2.500/(194/10.000)=0,0206=2,06%
Frage 2 ist leicht zu beantworten: 1 von 2500, also 0,04%.
Bei Frage 1 denke ich, dass "einwandfrei sein" und "Alarm auslösen" nicht von einander das Gegenteil sind, weil es auch Stücke gibt, die Alarm auslösen, aber einwandfrei sind (jedes 1000.). Da jedoch der Zusammenhang zwischen Ereignis E und A trotzdem gegeben ist (wegen der genannten Blindalarme, deren Prozentsatz ja bekannt ist), würde ich E und A als stochastisch voneinander abhängig sehen.
Frage 2 ist nicht ganz so leicht!
1/2.500 ist die Wahrscheinlichkeit für einen unentdeckten verbotenen Gegenstand unter allen Gepäckstücken. Gefragt ist aber die Wahrscheinlichkeit für unentdeckte verbotene Gegenstände nur unter der Gesamtheit der verbotenen Gegenstände (alle korrekten Gepäckstücke bleiben außer Acht).