Stetigkeit bei Funktionsschar nachweisen?
Hey,
ich habe gerade Schwierigkeiten mit Aufgabe im Anhang.
Ich bleibe im Aufgabenteil b) an der Stelle hängen, nachdem ich den Betrag innerhalb des ln's für x<2 und x>2 aufgelöst habe.
Für x<2:
ln( [ (-1) * x² + x + 2 ] / [ -x - 2 ] )
Für x>2:
ln( [ x² - x - 2 ] / [ x + 2 ] )
Um den rechtsseitigen und den linksseitigen Limes zu berechnen konnte man bisher immer irgend eine sinnvolle Umforumg innerhalb des Bruches vornehmen, damit ich den Kritischen Punkt ( in dem Fall 2 ) als Grenzwert einsetzen und ausrechnen kann.
Diesmal fällt mir keine sinnvolle Umformung ein.
Viele Grüße
5 Antworten
x²-x-2 hat 2 als Nullstelle, d.h. es lässt sich schreiben als (x-2)*(x-irgendwas) , dann kannst du das (x-2) im Limes rauskürzen.
okay danke sehr. Ich kann ja (x-2)*(x+1) daraus machen. Hast du einen Trick wie du sowas auf Anhieb siehst, oder hilft da nur zig Beispiele durch rechnen bis man ein Gefühl für soetwas bekommt?
Die beiden Teilfunktionen sind - für sich genommen - in ihrem Def.-Bereich auf jeden Fall stetig. Also musst Du "nur" noch für die Stetigkeit bei x = 2 sorgen.
Hierzu muss der Grenzwert des oberen Termes für x gegen 2 mit dem unteren Wert übereinstimmen. Also ist die eigentliche Aufgabe, den Grenzwert des oberen Termes zu berechnen. (vgl. Antwort von iokii).
4a) Für x ≠ 2 ist f(x) = ln |x + 1| und das ist nur für x = - 1 nicht definiert,
also ist D = R ohne - 1.
4b) a = ln |2 + 1| = ln 3
Okay, danke für die Antwort.
Ich werde die Hausaufgabe mit dem Intervall D = ]-1,+unendlich[ abgeben, weil unser Tutor immer die kleinstmögliche Definitionsmenge angegeben bekommen möchte.
offentsichtlicu muss man noch x = -1 aussschließen.
ln(| x^2 - x - 2 / x -2 |)= ln (|x+1|)
lim x -> 2 (ln (|x+1|)) = ln 3
nun soll, damit stetigkeites Bed. erfüllt, auch lim x-> 2 (a) = ln 3 sein.
also a =ln 3.
Nachdem der ln für alle positive Argumente stetig ist, reicht es nur seinen Argumenten auf Stetigkeit zu untersuchen (eine Verkettung stetiger Funktionen ist stetig).
D.h. mein erster Schritt ist es die Funktion in die Teilfunktionen g(x) = ln( x² - x - 2 ) und h(x) = ln ( x - 2 ) zu splitten.