Skalarprodukt nachweisen?
Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor? Es fällt mir schwer zu verstehen, wie man Symmetrie, Linearität und positive Definitheit nachweist. Es wird ja schnell kompliziert.
2 Antworten
Der Eintrag an der i. Zeile und j. Spalte von A*B^T ist gleich dem Skalarprodukt von der i. Zeile von A und der j. Zeile von B (mache dir das am besten klar, warum das so gilt).
Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge.
Für die positiv definitheit musst die Spur von A*B^T als Summe aufschreiben, und erkennen, dass jeder Summand nicht negativ ist, und nur 0 ist, wenn der jeweilige Eintrag 0 ist.
Für die Symmetrie ist der Fakt Spur(A) = Spur(A^T) hilfreich (warum gilt das?)
Bei der Linearität musst du A durch a*A ersetzen. Folge de Dinge sind dann nütlich: Matrizenmultiplikation ist Linear. Die Spur ist ein Linearer Operator. (warum?)
Bei Positiv definitheit musst du prüfeny ob T(A,A) nicht negativ ist, und genau dann 0 ist, wenn A überall 0 ist.
Wirklich? Meiner Meinung nach muss man nur genauer bei der positiven Definitheit genauer hinschauen…
Warum ist jeder Summand nicht negativ? Spur(A*B^T) = a11*b11 + a12*b21 +.... + an1*bn1 ++ an2*bn2 + ... ank*bnk