Sind alle Wurzeln, die aus natürlichen nicht Quadratzahlen kommen irrational?
Beispiel: √49=[7*7]
Beispiel:√10=3.162277
2 Antworten
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Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematiker, Mathematik
Ja.
Jede natürliche Zahl (größer als 0) lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Dabei fasse ich gleiche Primfaktoren mit einem Exponenten zusammen, z.B. 12 = 2^2 * 3. Bei einer Quadratzahl sind alle Exponenten geradzahlig.
Wenn man die Wurzel zieht, halbieren sich die Exponenten. Wenn es einen Exponenten gab, der nicht geradzahlig war. (also es sich nicht nicht um eine Qudratzahl handelte), verliert dieser Exponent seine Ganzzahligkeit. Damit ist die Wurzel irrational.
Sind alle Wurzeln, die aus natürlichen nicht Quadratzahlen kommen irrational?
Ja
Dies läßt sich mit Hilfe eines "Widerspruchbeweises" zeigen zu dem auch schon Schüler der Mittelstufe fähig sein sollten.