Nullvektor im Eigenraum?
Hallo!
Wenn nach Eigenvektoren v zu einem Eigenwert w einer Matrix A gefragt wird suche ich zunächst immer nach kern(A-wE), also dem Eigenraum. (E ist nxn Einheitsmatrix). Danach suche ich mir einen der Basisvektoren des Eigenraums raus und habe einen Eigenvektor.
Jetzt habe ich im Internet verschiedene Notationen gesehen... Beim aufschreiben des Eigenraums: Beispiel: Eig(w)={t*v | t aus C}. t=0 wurde NICHT ausgeschlossen. Jemand anderes wiederum hat nach einem Eigenvektor gesucht und kam durch das lösen des LGS auf t*v und hat gesagt, dass t nicht Null sein darf... Deswegen bin ich ein bisschen verwirrt... ist die Null im Eigenraum, darf aber nicht als Eigenvektor gewählt werden?
Ich stieß eben auch auf eine Aufgabe, bei welcher ich sagen sollte ob es richtig oder falsch ist, dass (0,0,0)^T aus Q^3 Eigenvektor einer gegebenen Matrix ist...
Danke und LG
Ich meine der Nullvektor ist ja IMMER eine Lösung im Eigenwertproblem f(v)=wv ... Deswegen macht es eigentlich keinen Sinn ihn als Eigenvektor zu benutzen
1 Antwort
Es ist meistens eine Sache der Definition, den Nullvektor im Voraus auszuschließen. Nicht nur, weil er ein Element jedes Eigenraums und damit trivial ist, sondern weil es auch unendlich viele Eigenwerte gibt, die den Nullvektor als Eigenvektor hätten, eben weil 0*Lambda=0 für alle Lambda eines Körpers gilt. Die Menge aller Eigenwerte eines Endormorphismus (lin. Abbildung von V auf V, V als K-Vektorraum) wäre also immer ganz K.
Im Allgemeinen gibt es viele Aussagen, die genau dann gelten, wenn die Determinante einer Matrix 0 ist. Diese Aussagen verlieren alle gewissermaßen ihren Wert, wenn man den Nullvektor als Eigenvektor erklärt, denn 0 als Eigenwert ist äquivalent zu einem Determinantenwert von 0. All diese Aussagen würden also für jede Matrix gelten.
Beispielsweise ist eine Matrix genau dann invertierbar, wenn sie 0 als Eigenwert besitzt. Das ist aber immer der Fall, wenn man den Nullvektor als Eigenvektor zulässt, denn dann ist er zu jeder Matrix (und der von dieser induzierten linearen Abbildung) ein Eigenvektor - und damit ist die 0 automatisch ein Eigenwert der Matrix. Insbesondere wäre jede Matrix invertierbar, und spätestens da sollte auffallen, dass es keinen Sinn macht, den Nullvektor als Eigenvektor zu erlauben.