Mathe/Analysis/Wasserstandshöhe?
Hallo. Nach meiner Klausur muss ich einige Aufgaben berichtigen, doch eine Aufgabe verstehe ich nicht. Und zwar:
(Oberstufe 12.Klasse, Schleswig Holstein)
Die Funktion f(x) = -0,01xhoch3 +0,16xhoch2 -0,6x gibt die momentane Änderungsrate der Wasserstandshöhe in einem See an, x ist hierbei in Monaten mit 0 < x < 10,5 und f(x) in cm angegeben Zu Beginn der Aufzeichnung hat der See eine Wasserstandshöhe von 3m.
a) Interpretieren Sie de Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang (siehe Bild)
b) Ermitteln Sie wie hoch der Wasserstand nach 4 Monaten ist
Ich verstehe nicht wie ich voran gehen soll und was ich da zu diesem Graphen interpretieren soll. Eure Hilfe wäre mir sehr Hilfreich. Vielen Dank.
2 Antworten
Hallo,
die momentane Änderungsrate ist die erste Ableitung der Funktion der Wasserstandshöhe und zeigt, ob das Wasser zum Zeitpunkt x weniger wird (Kurve unterhalb der x-Achse) oder mehr wird (Kurve oberhalb der x-Achse).
Den höchsten bzw. tiefsten Wasserstand findest Du jeweils da, wo die momentane Änderungsrate 0 ist, wo die vorliegende Kurve also die x-Achse schneidet.
Wenn Du den Wasserstand zu einem bestimmten Zeitpunkt brauchst, mußt Du die Stammfunktion finden, die für x=0 den Funktionswert 3 hat, weil 3 m der Wasserstand zum Zeitpunkt 0 ist.
Bilde F(x) und setze für die Integrationskonstante 3 ein.
Dann findest Du den gesuchten Wasserstand bei F(4).
Herzliche Grüße,
Willy
das ist die 1.te Ableitung des Wasserstandes von der Zeit t
dh/dt=h´(x)=f´(x)=-0,01*x³+0,16*x²-0,6*x integriert
h(x)=F(x)=-0,01/4*x⁴+0,16/3*x³-0,6/2*x²+C
bei t=0 ist h(0)=300 cm ergibt die Wasserstandshöhe in Abhängigkeit von der Zeit t
h(x)=-1/400*x⁴+16/300*x³-3/10*x²+300 cm Hinweis: 0,01=1/100 und 0,16=16/100
h(4)=-1/400*4⁴+16/300*4³-3/10*4²+300 cm
h(4)=297,97 cm
interpretation: f´(x)=-0,01*x³..... gibt die Steigung m=dy/dx=f´(x) an der Funktion
h(x)=F(x)=.... an
bei t1=0 Monate steigt der Wasserstand nicht.
bis zum Minimum fällt der Wasserstand.
Nach dem Minimum steigt der Wasserstand wieder
Vom Minimum bis zum Maximum ist die Steigung positiv,Wasserstand steigt.
Nach dem Maximum ist die Steigung f´(x)=m=negativ,Wasserstand sinkt wieder.
Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1
hier m=(h(t2)-h(t1))/(t2-t1)
geht das Zeitintervall t2-t1 gegen Null,so erhält man dh/dt=h´(x)=-0,01*x³...