Kreisteile, Textaufgabe?
Kann mir jemand dabei helfen wie muss ich rechnen?
4 Antworten
Die Idee ist hier, dass die Einzelfiguren alles Teile eines Kreises sind. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist sicherlich bekannt:
A = pi*r^2
wobei r der Radius des Kreises ist. Hier sind dies 6 cm. Berechnen wir also den Flächeninhalt für einen solchen Kreis, so erhalten wir ungefähr 18,85 cm^2.
Jetzt wollen wir aber nur einen Teil dieses Kreises bestimmen. Dazu berechnen wir zunächst einmal, wie viel Flächeninhalt denn so ein Stück des Kreises hat mit Winkel von 1°. Da der gesamte Kreis 360° hat, müssen wir dazu einfach unser 18,85 cm^2 durch 360° teilen. Also hat ein Kreisstück von einem Grad gerade einen Flächeninhalt von 18,85/360 cm^2.
Nun wollen wir wissen, wie viel ein Kreisstück mit 45° hat. Dazu müssen wir das eben ausgerechnete einfach mit 45° multiplizieren. Also
18,85/360 cm^2/° * 45° = 2,35625 cm^2
Die größeren Flächen haben also etwa den Flächeninhalt 2,35625 cm^2. Die kleineren Flächen müssen halb so viel haben, denn der Winkel ist dort einfach halbiert, wir erhalten also 2,35625/2 cm^2 = 1,178125 cm^2. So groß ist also der Flächeninhalt der kleineren Abschnitte.
Wie kann man jetzt den Flächeninhalt der Gesamtfläche mit einer Rechnung ausrechnen? Naja, wir drehen und bewegen einfach die Flächenstücke so, dass sie auch einen Kreisausschnitt ergeben. Beim drehen und bewegen der Flächenstücke verändert sich offensichtlich deren Flächeninhalt nicht. Aber wir erhalten auch einen Kreisausschnitt und zwar mit dem Winkel den wir durch die Addition der einzelnen Winkel erhalten. Dies ist also 3*alpha + 2*alpha/2 = 4*alpha = 4*45° = 180°. Dies ist ein Halbkreis. Um den Flächeninhalt auszurechnen, können wir also den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius 6 cm ausrechnen und den durch zwei teilen (denn wir müssen ja nur den Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius 6 cm ausrechnen - der ist offensichtlich die Hälfte von dem des ganzen Kreises).
Es sind die Einzelteile eines Vollkreises (deswegen die Winkel).
Die Fläche nähert sich bei weiterer Segmentierung der Form eines Rechtecks.
Eine Seite davon wäre dann r = 6 cm, die andere der halbe Umfang des Kreises.
Umfang des Kreises = pi mal d (2×r) = 37,68, davon die Hälfte = 18,84.
Fläche des Rechtecks:
6 x U/2 = 6 x 18,84 = 113,04
Probe mit Flächenformel für Kreis = pi mal r2 = 113,04
q.e.d.
Ein Kreisteil hat die Fläche
A = π r² α / 360
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Wieviel Grad ergeben denn alle Winkel zusammen?
Und was ist 360 / 360?
Und als Hinweis: die Fläche eines Vollkreises ist π r²
Formel für Kreisausschnitt
A = pi•r²•alpha / 360
r =6
alpha ist 45° oder 45/2