Komplexe Zahlen! Wie berechnet man die unterstehenden Aufgaben?

Hallo

ich bin dabei für meine Matheklausur mithilfe von Altklausuren zu lernen. Ich verstehe nicht ganz wie man die beigefügten Aufgaben berechnet. Könnt ihr mir eventuell da helfen und Lösungswege Aufschreiben ?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

1. Aufgabe

• Konstante kürzen
• Komplexe Multiplikation: Argumente (Winkel) werden addiert, Beträge werden multipliziert ⇒ oben z³ = 1
• Lösungen "kürzen" ⇒ unten z⁴ + 2z² = 0 ⇔ z² (z² + 2) = 0 ⇔z² = 0 oder z² = -2

3.Aufgabe

$\text{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2} \quad \text{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$

Erklärung zu Nullstellen

Nullstellenform:

$f(z) = c \cdot (z - z_1) \cdot (z -z_2) \cdot \ \dots \ \cdot (z - z_n)$ Die Konstante c ≠ 0 ändert nichts an den Nullstellen. Die Gleichungen in der Aufgabe können durch Division einer Konstante vereinfacht werden.

Wenn die n Nullstellen einer Funktion gleich auf dem Einheitskreis verteilt sind, dann ist

$f(z) = z^n - 1$ Diese Nullstellen nennt man Einheitswurzeln. Sie teilen den Einheitskreis in n Teile. Wenn man eine n-te Einheitswurzel mit n potenziert, erhält man 1. Du kannst die 1 durch einen anderen Radius in der n-ten Potenz ersetzen, um Kreise mit anderen Radien zu bekommen. Bei der komplexen Multiplikation werden die Beträge multipliziert und Argumente addiert (modulo 2π). Wenn also eine Nullstelle z einen Betrag von r haben soll, dann hat zⁿ einen Betrag von rⁿ. Die Argumente der Nullstellen sind ganzzahlig Vielfache von 2π/n. Durch das Potenzieren bekommst du dann ganzzahlige Vielfache von 2π. Den Kreis kannst du auch verschieben, so wie man auch sonst Funktionen verschiebt, indem man das z durch z minus die komplexe Zahl, mit der man verschieben will, ersetzt.

Die Funktion
$f(z) = (z - m)^n - r^n$ hat n Nullstellen auf dem Kreis um m mit Radius r.

Solche Funktion kann man miteinander multiplizieren. Beim Produkt werden dann die Nullstellen vereinigt. Umgekehrt kann man auch Nullstellen "kürzen".

Die Funktion

$f(z) = z^4 - 1$ hat 4 Nullstellen auf dem Einheitskreis.

Die Funktion

$g(z) = z^2 - 1$

hat zwei Nullstellen auf dem Einheitskreis, die auch Nullstellen von f sind. Allgemein gilt, wenn eine Zahl in der n-ten Potenz 1 ergibt, dann ergibt sie auch 1, wenn man ein ganzzahlig Vielfaches von n in den Exponenten setzt. Durch Polynomdivision von f durch g erhält man dann ein Polynom, bei dem die Nullstellen von g aus f entfernt wurden.

$z^4 - 1 = (z^2-1)(z^2 + 1)$ Die Funktion h(z) = z² + 1 hat nur noch die Nullstellen -i und i.

Im unteren Beispiel sieht man bei den Vorschlägen die Lösung z = 0 sofort. Wenn man nach weiteren Lösungen sucht (hier also z ≠ 0), kann man das z² auf beiden Seiten dividieren. In allen Vorschlägen bleibt eine Quadratur übrig. Bei der komplexen Multiplikation werden Argumente (Winkel zur positiven Realachse) addiert und Beträge multipliziert. Hier also werden die Argumente verdoppelt und die Beträge quadriert. Damit landen die obere und die untere Nullstelle bei -2.

Comments

[Saiufi]

Danke für deine Antwort.

muss ich den Lösungsweg für die 1. Aufgabe für jede Gleichung nach dem Schema machen welches du aufgeschrieben hast ? Oder hast du nur das Schema für die Lösung aufgeschrieben. Denn ich muss ja irgendwie herausfinden welche der Antworten richtig ist in der Klausur.

also muss ich doch mit der Lösungsmenge und den Betrag anfangen.

das habe ich leider nicht ganz verstanden

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@Saiufi

In der oberen Aufgabe steht überall z³. Wenn du einen drei-geteilten Kreis hast, dann ist auch klar, dass irgendwo hoch 3 vorkommen muss. Für die eingezeichneten Punkte ergibt z³ = 1. Jetzt musst du nur noch herausfinden, welche der Gleichungen man durch beidseitiger Multiplikation mit einer Konstante (≠ 0) bekommen kannst.