Können irrationale Konstanten in anderen Zahlensystemen einen "Sinn" ergeben?
Hi,
wenn Konstanten im Dezimalsystem irrational sind, können sie in anderen Systemen mit im Dezimalzahlen rationalen Zahlen als Basis nicht rational sein, können solche Zahlen allerdings trotzdem einen Sinn ergeben (z.B. wäre im Binärsystem klar, wie die Zahl 0,010011000111000011110000011111000000111111... fortgesetzt wird, obwohl sie irrational ist; im Dezimalsystem wäre diese Zahl näherungsweise 0,2985983183750722109158, was nicht wirklich einen Sinn ergibt)? Gibt es Beispiele dafür oder Beweise, wenn das nicht möglich ist?
3 Antworten
Definiere "Sinn ergeben" bitte präziser und wir können dir helfen. Das, was am nähesten an deine Forderung herankommt, ist, ob eine Zahl in einem System "normal" ist und im anderen nicht ("normal" ist ein hier wohldefinierter Begriff, such auf Wikipedia), aber das ist auch nicht sehr genau das, was du suchst (es scheint nur etwas damit zu tun zu haben). Ansonsten ist über die Fließkommadarstellung von irrationalen Zahlen SEHR wenig bekannt (meinem Wissensstand nach zumindest).
LG
Du scheinst also ein leicht erkennbares Bildungsgesetz zu meinen.
Wieso sind die Zahlendarstellungen, die du genannt hast, keine (Gegen-)Beispiele?
Jetzt bekommen wir ein sehr großes Problem, nämlich das der menschlichen Willkür. Ein weiteres sehr großes und sehr wichtiges Gebiet, das unter demselben Problem leidet, ist das der Integralrechnung (ich hoffe du bist mit diesem Gebiet der Mathematik vertraut). Die wichtige Fragestellung ist hier, ob eine Funktion ein unbestimmtes Integral, also eine Stammfunktion, besitzt. Nun, wenn sie integrierbar ist, dann besitzt sie eine, die Frage ist eher, ob wir sie im Sinne von uns bekannten Funktionen ausdrücken können, sogenannten "Elementarfunktionen". Dazu zählen Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische und hyperbolische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmenfunktionen, alle deren Inverse, die Min- und Max-Funktion und die Lambertsche W-Funktion (die Umkehrfunktion von x*e^x). Erster Ansatz "Nun, wenn die Funktion an sich schon elementar ist, dann ist doch vielleicht auch die Stammfunktion elemantar", ätschibätsch, e^(-x^2) ist das erste Gegenbeispiel dieser doch sehr intuitiven These, sie besitzt nämlich keine elementare Stammfunktion. Schlimmer noch, der bisher einzige Algorithmus, der ein Integral, wenn es existiert, immer findet, ist "fehlerhaft", da er als Teil des Algorithmus überprüfen muss, ob ein Ausdruck gleich 0 ist. Das erscheint einfach, ist aber genügend schwer und, wenn man z.B. zu den elementaren Funktionen auch die Betragsfunktion zählt, nicht immer entscheidbar bzw. es wurde bewiesen, dass kein Algorithmus existieren kann, der die Antwort geben kann.
In etwa dasselbe Problem sehe ich hier erwecken, das erste Problem ist, dass "dass man als Mensch in der Zahlenfolge einen Sinn erkennt" sehr schwammig ist. Für mich ist die Zahl 0,1123581321345589... "sinnvoll", für andere, die die Fibonacci-Folge kennen, wahrscheinlich nicht. Wenn wir uns an eine Definition wagen, werden wir immer jemanden finden, der sagen wird "aber hinter dieser und jener Zahl erkenne ich den Sinn, sie wird aber nicht als sinnvolle Zahl aufgeführt, und diese Zahl, die ihr als "sinnvoll" bezeichnet, ist für mich völliger Schwachsinn!". Das Wort "Muster erkennen" ist schon etwas besser als Sinn, aber ich könnte immernoch für deine "sinnlose" Zahl" 0,2985983183750722109158... eine Folge f(n) definieren, sodass f(n) genau die n-te Nachkommastelle der Zahl ist, ob sie irrational ist oder nicht. Wir können uns auf eine sehr scharfe Definition einlassen, die vielleicht funktionieren könnte, aber auch wieder sofort einige Zahlen ausschließt, die ich für "sinnvoll" halte:
Eine Zahl x < 1 [willkürlich, um die Definition etwas einfacher zu halten] heißt sinnvoll zur Basis p, wenn es eine elementare (siehe die Definition zu "elementar" oben) positive Folge f(n) gibt, sodass die Darstellung von x in Basis p der Zeichenkette "0.f(0)f(1)f(2)f(3)" entspricht. Bemerkung: f(n) in Basis p muss nicht eine einzelne Stelle sein, f(10) = 248 kann z.B. direkt drei Stellen definieren.
Die erste Feststellung ist, dass jede rationale Zahl q < 1 in jeder Basis b sinnvoll ist. Hat q in b die Darstellung q = 0.b1b2b3b4...bkp1p2p3...pjp1p2... (Hier entspricht bn immer einer Stelle, p1...pj ist die Periode), so ist f(n) = b1...bk(max(1-n,0)) + p1...pn(min(n,1)) eine Funktion, sodass f(0) = b1...bk und f(n > 0) = p1...pj sonst, also ist 0.f(0)f(1)f(2)... eine elementare Darstellung von q in Basis b.
Diese Definition sehe ich heute zum ersten Mal - habe sie mir ja auch gerade ausm Hintern gezogen -, ich werde mich in den nächsten Tagen/Wochen/Monaten mal damit beschäftigen, wenn ich was rausfinde, gebe ich dir natürlich bescheid. Der erste Beweis, dass alle rationalen Zahlen sinnvoll sind, war relativ offensichtlich und zählt natürlich nicht, aber es stimmt mit deiner Aussage aus der Frage überein, dass die rationalen Zahlen außen vorgelassen werden können und die irrationalen Zahlen erst wirklich interessant sind. Ob das stimmt, weiß nur die Zukunft, vielleicht gibt es ja andere interessierte Leute hier, die auch was beitragen könnten ;)
Meine erste Vermutung ist die, dass jede irrationale Zahl eine Basis hat, in der sie nicht sinnvoll ist, keine Ahnung ob das stimmt oder nicht, ergibt aber intuitiv Sinn, ich lass es dich wissen wenn mir was einfällt.
LG
Ich kann z.B. PI als Basis nehmen, aber dann sind andere Zahlen irrational. Einen Sinn gibt es bei keiner der Zählen, egal in welchem System.
Wenn eine Zahl in einem n-adischen Zahlensystem irrational ist, dann ist sie es auch in allen andern m-adischen Zahlensystem.
(n,m ganze Zahlen).
Wenn eine Zahl in einem n-adischen Zahlensystem endlich ist, dann ist sie in allen andern m-adischen Zahlensystem entweder ebenfalls endlich oder periodisch. Das hängt davon ab, ob n und m teilerfremd sind.
Mit "Sinn ergeben" meine ich, dass man als Mensch in der Zahlenfolge einen Sinn erkennt. Würde ich dich nach den nächsten 5 Nachkommastellen der Zahl p = 0,2985983183750722109158 fragen, könntest du mir diese nicht nennen, bei p = 0,010011000111000011110000011111000000111111 hingegen schon, obwohl beide Zahlen irrational sind.