Iterierte Quadratische Erweiterung?
Hey,
Ich muss für die Uni folgende Aufgabe lösen. Wir haben zwar einmal kurz über solche Körpererweiterungen gesprochen, jedoch in keinster Weise, wie man Zahlen in diesen invertiert.
Ich wäre daher sehr dankbar, wenn mir jemand diesbezüglich weiterhelfen könnte.
Lg, Paul
2 Antworten
Man muß hier mit dem Basiskörper aufpassen, der ist Q(Wurzel(2)). Die Inverse ist also in der Form (a + b Wurzel (2)) + (c + d Wurzel (2)) * Wurzel (1+ Wurzel (2)) anzugeben.
Abgesehen davon ist der Ansatz von RitterToby08 gut, nutze die dritte binomische Formel und multipliziere mit (1 - Wurzel (2)) - Wurzel (1+ Wurzel (2)).
Das macht 2 - 3 Wurzel (2). Dadurch muss man diesen Kandidaten noch dividieren, dann hat man es.
Für die inverse zu 2 - 3 Wurzel (2) nutze nochmal die dritte binomische Formel.
Ich antworte nur, weil es sonst noch keine Antworten gibt. Ich kenne mich in Körpererweiterungen und insbesondere Galoistheorie nicht mehr sonderlich gut aus. Daher weiß ich nicht, ob es irgendwelche schönen Tricks gibt.
Du kannst dir schnell überlegen, dass folgendes gilt:
Dabei ist wirklich eine Gleichheit gemeint und nicht irgendeine Isomorphie. Außerdem gilt per Definition:
ist ein Unterkörper der reellen Zahlen. Um das Inverse zu berechnen, kannst du dir also einfach denken du würdest in R rechnen. Also musst du
berechnen. Das ist aber um ehrlich zu sein nicht ganz einfach. Hier müssen geeignete Erweiterungen des Bruches gefunden werden. Ein guter Anfang wäre vermutlich mit
zu erweitern. Ich vermute aber, dass das eine längere Rechnung wird. Eine leichtere Lösung sehe ich gerade auch nicht. Allgemein wäre noch eine Alternative ein Gleichungssystem zu lösen, das sich ergibt wenn du das Inverse Element als
schreibst.