Ist Wurzel 9 eine ganze Zahl?
Hallo,
in der Schule behandeln wir zur Zeit das Thema zahlenarten. Jetzt wollte ich fragen ob die Wurzel aus neun beziehungsweise einer anderen Quadratzahl wie 121 (wenn die Wurzel noch nicht ausgerechnet ist) eine ganze oder eine rationale Zahl ist. Denn bei der Wurzel käme ja 11 bzw. -11 raus, andererseits ist ja die Wurzel noch nicht ausgerechnet. Danke.
11 Antworten
Denn bei der Wurzel käme ja 11 bzw. -11 raus,
Nein, das ist ein weitverbreitetes Missverständnis.
Die Quadratwurzel aus 121 ist ausschließlich 11.
Du verwechselst das mit den Lösungen der Geleichung
x² = 121
Die Lösungen sind +Wurzel(121) und -Wurzel(121), also +11 und -11.
Merkst du etwas? Das Plus bzw. Minus steht VOR der Wurzel. Eben, weil die Wurzel nur den positiven Wert liefert. Würde die Wurzel beide Werte liefern, wäre die Wurzel"funktion" zum einen keine Funktion mehr und zum anderen brauchte man das Plus bzw. Minus vor der Wurzel nicht explizit angeben.
Das stimnmt so nicht.
Natürlich stimmt es - und das unabhängig davon ob du das verstehst oder nicht.
Man darf sehr wohl -11 die Quadratwurzel von 121 nennen.
Klar darf man das. Man darf auch sagen 2+2 = 5. Korrekt ist beides nicht.
Aber in der Schreibweise √121 ist definitionsgemäß die nichtnegative Wurzel gemeint, also 11. Deshalb steht das Minus vor dem √-Zeichen.
Korrekt. genau das sage ich ja. Mit der Einschränkung, dass das "nichtnegative" Quatsch ist, weil es suggeriert, es gäbe auch eine negative Quadratwurzel.
"Wurzel" ist eben nicht das selbe wie "√".
Blödsinn.
Beachte, dass jede positive Zahl zwei Quadratwurzeln hat: eine positive Quadratwurzel und eine negative Quadratwurzel. Z. B. sowohl 6 als auch −6 ergeben 36 wenn sie quadriert werden. Daher hat diese Gleichung zwei Lösungen.
D.h. es gibt eine negative (und eine positive) Quadratwurzel. Aber √36 ist 6, und nicht -6.
Blödsinn.
Danke für's Gespräch.
Streng genommen ist es eine Menge mit Elementen aus Z, weil es immer zwei Quadratwurzeln gibt (x und -x).
Also Wurzel aus 9 ist L = { -3, 3 }.
Verallgemeinert gibt es natürlich zwei komplexe Wurzeln (auch aus negativen Zahlen).
Streng genommen ist das völliger Mumpitz.
√(9) ist 3 und nichts anderes.
Das stimmt so für das Radix-Symbol, aber nicht allgemein für die "Wurzel" im Sprachgebrauch. In der Frage kam das Wurzelsymbol nunmal nicht vor.
Und so hat 9 ganz offiziell die beiden Quadratwurzeln 3 und -3.
the principal square root of 9 is 3, although both and 3 are square roots of 9.
http://mathworld.wolfram.com/PrincipalSquareRoot.html
Und
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen
Beispielsweise hat die Gleichung x² = 4 die beiden Lösungen x = +2 und x = -2. Der Term √4 hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert -2.
(https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen)
The principal square root is the positive number square root. Unless otherwise stated, "the square root" of a number refers ONLY to the principal square root.
(http://www.learnalberta.ca/content/memg/Division03/Principal%20Square%20Root/index.html)
Es bleibt betreffend deiner Antwort also bei "Mumpitz"...
Och bitte... Du kannst doch nicht den interessanten Teil einfach unterschlagen:
Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen √ grundsätzlich für die positive Lösung.
So weit so gut. Und die Schreibweise (oder Sprechweise) ohne das Wurzelzeichen √ ? Dann wohl nicht, ne? Sonst hätte man das nicht hervorheben müssen.
Und zu Alberta state ich dann eben otherwise, dass streng genommen zwei Quadratwurzeln existieren...
Gib einfach das Wurzelzeichen und 9 in den Taschenrechner ein, da siehst du dann, dass 3 rauskommt
3 ist eine Natürliche zahl, eine ganze zahl UND eine rationale zahl
Die Quadratwurze einer Quadratzahl ist eine ganze Zahl.
Alle ganzen Zahlen sind rational.
Und was das mit 11 und -11 sein soll, müsstest du nochmal näher ausführen.
Oder willst du etwa behaupten, dass √(121) sowohl 11 als auch -11 sein kann? Falls ja: Das ist nicht der Fall. Zwar lösen sowohl 11 als auch -11 die Gleichung x²=121, aber daraus folgt nicht, dass das für x=√(121) ebenfalls gilt.
P.S.: Trotzdem sind sowohl 11 als auch -11 ganze und damit rationale Zahlen.
daraus folgt nicht, dass das für x=√(121) ebenfalls gilt.
Der Wurzeloperator spuckt definitionsgemäß immer die nichtnegative der beiden Wurzeln aus, dennoch heißen beide (11 und -11) immer noch (Quadrat-)Wurzeln von 121.
Ja,weil 3x3=9
Umkehrfunktion ist die einfache Wurzel.
Wurzel aus 9 ist 3.
Mario
Das stimnmt so nicht. Man darf sehr wohl -11 die Quadratwurzel von 121 nennen. Aber in der Schreibweise √121 ist definitionsgemäß die nichtnegative Wurzel gemeint, also 11. Deshalb steht das Minus vor dem √-Zeichen.
"Wurzel" ist eben nicht das selbe wie "√".