Ist meine Vorgehensweise bei dem Beweis korrekt?
Assoziativität mit ⊙ ist ja einfach :
((f⊙g)⊙h)(i)= (f(i)*f(g))*f(h)= f(i)*f(g)*f(h)
(f⊙(g⊙h))(i)= f(i)*(f(g)*f(h))= f(i)*f(g)*f(h), daher assoziativ oder?
Dann Assoziativität mit ⊕ ist analog zu Assoziativität mit ⊙.
Nun ist es ja so, dass (R^i,⊕) eine ablesche Gruppe sein muss, da wollte ich nun das neutrale Element nachweisen, aber wie?
Ich verstehe die Abbildung nciht ganz, darf ich einfach sagen
e€ I, f(e)⊕f(0)=e+0 = 0 und andersrum noch?
1 Antwort
((f⊙g)⊙h)(i)= (f(i)*f(g))*f(h)= f(i)*f(g)*f(h)
f(i) ist aus R, aber was sollen f(g) und f(h) sein?
Bei der Aufgabe wird nur die Definition angewandt, wobei im ersten Schritt (f⊙g) dem f und h dem g entspricht:
((f⊙g)⊙h)(i) = (f⊙g)(i)*h(i) = f(i)*g(i)*h(i) = f(i)*(g⊙h)(i) = (f⊙(g⊙h))(i)
Das neutrale Element der Addition bzw. Multiplikation, ist die Abbildung, die alle i aus I auf das neutrale Element der Addition bzw. Multiplikation aus R abbildet.
Wenn e die Nullabbildung ist, ist e(i) = 0 und e(i)+f(i) = f(i) = f(i)+e(i) für alle i aus I.
Oh man, hab mich da vertippt, das sollter alles f(i) sein und nicht f(g) etc.
Weil mann dann in R ist?
Ja. Man verwendet unterschiedliche Zeichen, um zu unterscheiden, ob man die Abbildungen miteinander verknüpft oder die Funktionswerte.
Außerdem wir sagen ja aus (f⊙g)(i) folgt beispielsweise f(i)*g(i). Es ist doch so, dass * und + zu R gehören, wenn ich nun sage ich verknüpfe die Funktionen mit ⊙ und daraus Schlussfolgere, dass am Ende, wie in der Aufgabe oben gilt, dass der Funktionswert * AndererFunktionswert genommen wird, so spreche ich ⊙ ja eine Definition zu, die aber nicht klar genannt wurde?
⊙ ist durch (f⊙g)(i) = f(i)*g(i) für alle i aus I definiert. Das ist klar genannt.
Außerdem, inwiefern ist das eigentlich ein Beweis? Bei:
((f⊙g)⊙h)(i) = (f⊙g)(i)*h(i) = f(i)*g(i)*h(i) = f(i)*(g⊙h)(i) = (f⊙(g⊙h))(i)
wenden wir ja Rechenregeln an, die wir allgemein kennen: ((f⊙g)⊙h)(i) erst erste Klammer auflösen, mit f und g, dann h dazu tun. Und das nennen wir dann beweis? Weil wir das für beide Fälle machen, aber das an sich ist doch kein Beweis, sondern Anwendung von Rechenregeln, müssten wir nicht beweisen, dass diese Rechenregeln gelten, also dass ich z. B. erst die erste Klammer auflösen darf, mit f und g und dann das mit h? Ich muss doch genau sowas eigentlich nachweisen und nicht rechnen?
(f⊙g)(i) = f(i)*g(i) ist die Definition von ⊙ und (f(i)*g(i))*h(i) = f(i)*(g(i)*h(i)) ist die Voraussetzung, dass R ein Ring ist. Diese Rechenregeln sind gegeben. In der Aufgabe wird verlangt, die Rechenschritte auszuführen. Wenn eine Gleichung bewiesen werden soll, ist üblicherweise gemeint, die einzelnen Rechenschritte hinzuschreiben, wo je eine vorgegebene Rechenregel angewandt wird, um von der linken Seite auf die rechte zu kommen.
Wenn das f(i), g(i), h(i) sein sollen statt f(i), f(g), f(h), stimmt es. Man könnte es nur noch genauer zeigen, indem man nur ein ⊙ pro Schritt auflöst.
Danke, ich muss ja auch das inverse Element von (R^i,⊕) beweisen, hast Du dafür einen Tipp?
Danke, dir was ich aber nicht kapiere, warum nutzt man nach ((f⊙g)⊙h)(i) die normalen * zeichen? Weil mann dann in R ist?