Ist es möglich das kartesische Produkt aus unendlichen Mengen z.B. den natürlichen Zahlen zu bilden?
z.B. N^3
2 Antworten
Das kartesische Produkt oder Mengenprodukt ist in der Mengenlehre eine grundlegende Konstruktion, aus gegebenen Mengen eine neue Menge zu erzeugen. Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch die mehrdeutige Bezeichnung „Kreuzprodukt“ verwendet. Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist. Allgemeiner besteht das kartesische Produkt mehrerer Mengen aus der Menge aller Tupel von Elementen der Mengen, wobei die Reihenfolge der Mengen und damit der entsprechenden Elemente fest vorgegeben ist. Die Ergebnismenge des kartesischen Produkts wird auch Produktmenge, Kreuzmenge oder Verbindungsmenge genannt. Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Mathematiker René Descartes benannt, der es zur Beschreibung des kartesischen Koordinatensystems verwendete und damit die analytische Geometrie begründete
Was war nochmal das kartesische Produkt? Das Produkt aus den Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare (2-Tupel) in der Form (a,b), wobei a der Vetreter für jedes Element aus A und b der Vertreter für jedes Element aus B ist. Was ist dann die Menge {(x,y)|x,y∈ℝ}? Ganz einfach: ℝ². Das sind einfach alle Punkte aus dem (kartesischen) Koordinatensystem nur anders dargestellt.
ℝ³ ist also der Raum - alle Punkte aus dem Raum, also dem dreidemsionalem Koordinatensystem.
Bei ℕ³ wären es aber nur einezelne Punkte aus dem Raum. Es gilt daher ℕ³⊂ℝ³, also dass ℕ³ eine (echte) Teilmenge von ℝ³ ist.
LG 👍😊
Ja, klar.
Ein anschauliches Beispiel ist das (kartesische) Koordinatensytsem. Das ist nichts weiter als ℝ², also das kartesische Produkt von den reelllen Zahlen. Das sind nicht nur unendlich viele, sondern sogar überabzählbar viele.
Was war nochmal das kartesische Produkt? Das Produkt aus den Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare (2-Tupel) in der Form (a,b), wobei a der Vetreter für jedes Element aus A und b der Vertreter für jedes Element aus B ist. Was ist dann die Menge {(x,y)|x,y∈ℝ}? Ganz einfach: ℝ². Das sind einfach alle Punkte aus dem (kartesischen) Koordinatensystem nur anders dargestellt.
ℝ³ ist also der Raum - alle Punkte aus dem Raum, also dem dreidemsionalem Koordinatensystem.
Bei ℕ³ wären es aber nur einezelne Punkte aus dem Raum. Es gilt daher ℕ³⊂ℝ³, also dass ℕ³ eine (echte) Teilmenge von ℝ³ ist.
Bittesehr :)
Darf ich deine Antwort benutzen?