Ist ein Kreis mit unendlich großem Radius eine Gerade?
Hallo liebe Community,
wie ihr oben bereits gelesen habt, geht es um folgende Frage:
Ist ein Kreis mit unendlich großem Radius eine Gerade?
Hier gibt es jetzt verschiedene Antworten drauf. Beispiele:
-1. Die Krümmung Kg einer Geraden ist: Kg = 0
. Die Krümmung Kk eines Kreises mit dem Radius r ist: Kk = 1 / r
. Lässt man den Radius r des Kreises gegen unendlich gehen, erhält man für die Krümmung Kk_unendlich: Kk_unendlich = lim (r -> oo) 1 / r = 0
. Somit ist gezeigt, dass die Krümmung eines Kreises mit "unendlich" großem Radius gleich der Krümmung einer Geraden ist.
. Das heißt nun aber nicht, dass der Kreis nun eine Gerade ist. Der "unendlich große" Kreis ist immer noch ein Kreis - lediglich seine Krümmung ist gleich der einer Geraden ...
-2 Bei -1 wurde nur von "Annäherung" geredet. So bleibt ein Kreis immer ein Kreis, da er sich der Geraden nur nähert, sie jedoch niemals erreicht.
-3 . Ein Kreis kann keinen unendlichen Radius haben, da es sonst keine Fläche gibt, die er umfassen könnte. (Hierzu sei gesagt: Es geht auch bloss um die Theorie, nicht um die Praxis!)
Hier suche ich nun eine Antwort. Bin offen für Ideen, Anregungen oder (unwahrscheinlich) DIE richtige Antwort.
LG Imperium99
11 Antworten
Nein, ein unendlich großer Kreis ist keine Gerade - der Fehler liegt wie du bereits erkannt hast, in der Definition und ist ein altbekanntes mathematisches Problem.
Genauso könntest du die Geradenangleichung auch anders rum sehen. Eine unendlich lange Gerade hat keinen Anfangs und keinen Endpunkt - die einzige geometrisch bekannte Form, die per Definition jedoch keinen Anfangs- und Endpunkt hat, ist jedoch .....
na?
Der Kreis!
Jedoch schließt der kreis eine Fläche ein und ist dementsprechend natürlich gekrümmt. Die Gerade jedoch hat Defintionsgemäß keine Krümmung. Defintionsmenge würde übrigens eine leere Menge ergeben...
....
So, jetzt kann die unendlich lange Gerade aber trotzdem ein unendlich großer Kreis sein: schließlich können wir unsere Definitionen nur an den Fakten ausmachen, die wir kennen. Liegt also der Annäherungsbereich ausserhalb des uns bekannten Bereichs, ist es annehmbar, dass die Definition falsch ist und ein Kreis eben doch eine Gerade sein kann.
Eine ähnliche Diskussion gab es übrigens zum Thema Fläche. Wie erkennt man welche Seite Innen und aussen ist bei einem unendlich großen Kreis???
Das ist jetzt die Frage: Wenn der Umfang eines Kreises ungleich einer Geraden ist, kann man nicht sagen, auf welcher Seite der Flächeninhalt des Kreises zu finden ist. Jedoch MUSS ein Kreis ja (nach unseren Kenntnissen) eine gewisse Krümmung haben, demnach kann man die Seite des Flächeninhaltes sehr wohl bestimmen. Aber um diese Frage zu klären muss man ja erstmal beantwortet haben: Ist der Umfang eines unendlich großen Kreises gleich einer Geraden?
Mathematisches Paradoxon.
Wie würdest du in wenigen kurzen Sätzen die "Raum-Zeit-Krümmung" beschreiben?
In wenigen kurzen Sätzen, ausgerechnet raumzeitkrümmung - oha, hast mich erwischt. Mal versuchen:
Vorab: Die Zeit an sich wird als unendlich - dh ohne Ende und Anfang definiert, erst im Bezug auf einen Abschnitt (zB erde, Menschheit, Galaxie) erhält die Zeit Anfang und Ende. Im Geometrischen müsste man also nicht von eine Zeitgerade/Zeitstrang sondern von einem (un)endlich großen Zeitkreis ausgehen. Desweiteren wird davon ausgegangen, dass auch der Begriff Raum unendlich ist (siehe der Weltraum). Raum und Zeit müssten also wie Parallelen nebeneinanderlaufen, durch die Annehmbarkeit einer Krümmung der beiden (aufgrund der Unendlichkeit), kommt es zu Überschneidungen (werden manchmal als Erklärung für den Urknall, Sterngeburtstätten und schwarze Löcher in SciFis genommen)
Die Raumkrümmung kann man ja deutlich am Beispiel unserer Erde erkennen. ZB wie etwas am Horizont auftaucht, die unterschiedliche Größe der Sonne/des Mondes während dem Tageszyklus, oder dem Vergleich der Metrik bei einer Plattkarte mit dem Globus. Die Erde ist nunmal rund = Erdoberfläche gekrümmt. Je nach lokaler Krümmung zum Erdmittelpunkt entscheidet sich auch die Schwerkraft.
Die Raumzeitkrümmung ist ein Zusammenspiel zwischen Raum, Zeit und Kräften. Als Beispiel machen sich 2 Personen von zwei unterschiedlichen Orten (0Linie, Gebirge) auf den Weg zu einem gleichweit entfernten Ort, dort müssten sie sich eigentlich der Strecke nach zeitgleich treffen, doch die Person aus dem Gebirge trifft erst später ein (nach A.R.T vergeht die Zeit langsamer an hohen Orten). Man könnte also sagen, dass sich mit der räumlichen Höhendifferenz (=Krümmung) sich auch die Zeit verändert, dh nicht konstant bleibt sondern sich krümmt..........
..... ah m*** Faden verloren, komme selbst nicht mehr mit. War in der Theorie der Raumzeitkrümmung noch nie gut :(
Kürze byebye....
Vielen Dank für diese Zusammenfassung, darunter kann ich mir viel mehr vorstellen, als unter einem 20 Seiten Wikipedia Vortrag :) Daumen hoch!
Oh, ich glaube ich habe mich an den Fehler erinnert: dass der Kreis eine Fläche einschließt, war keine Definition sondern der Folgefehler des Faktes, dass ein Kreis ja keinen Anfang und Endpunkt hat. Nur die Krümmung =/= 0 ist definitionsgemäß festgelegt.
Zumindest war das die Erklärung in unserem Mathegrundkurs....
Wie immer beim Unendlichen gibt es darauf eine philosophische und eine praktische Antwort. Es ist vergleichbar damit, dass 0,9999999... in der Mathematik mit 1 gleichgesetzt wird, ohne es zu sein.
Die klassische Philosophie hat den Unterschied postuliert. Siehe das Paradoxon von Zenon von Achilles und der Schildkröte.
In der Mathematik wird das Problem durch die Limesbildung überbrückt, und man muss sich daran gewöhnen, das 2 * ∞ = ∞ ist, obwohl das wieder nicht für alle Unendlichkeiten gilt, was man bei der Einführung der irrationalen Zahlen lernt.
Mit der echten Wirklichkeit hat man immer Probleme. Sei froh, dass du nicht so gute Augen hast, um zu erkennen, was dein ruhender Tisch wirklich tut, während du denkst, er sei ein festgefügter Gegenstand.
Was würdest du denn auf die Frage antworten?
"Was macht ein Tisch während man denkt, er sei ein festgefügter Gegenstand?"
oh, das wäre ne philosophische Frage für mich! Welches Material hätte der Tisch denn?
...Wobei die wissenschaftliche Antwort viel mit Zeit zu tun hat - Zerfallen....
Nein. Des liegt nur an Deinem Rechenfehler. Schau auf ein paar 100 stellen hinter dem Komma. Aber laut einem Taschenrechner, wird das Weg-gerundet und macht dadurch den Eindruck.
Wenn man mit der Unendlichkeit "rechnet" kommt es nicht auf ein paar Hundert Nachkommastellen an... Und selbst wenn: Ich finde nicht die Rechnung, auf die du dich gerade beziehst...?
Ein Kreis hat aber immer eine Krümmung, sonst wird es kein Kreis. Unendlich kannst Du nicht Rechnen. Deskalb wird die Krümmung auch nie 0 sein sondern Zb 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
Aber würdest du diesen gegebenen "Wert (0,000000...1) mal unendlich "rechnen", kämst du auf eine Kümmung von "Unendlich" ---> kann nicht mit einem kreis zusammenpassen. Oder liege ich da falsch?
In der Mathematik gibt es keine Definition für Unendlich. Deshalb bleibt ein Kreis aber immer noch ein Kreis und besteht nicht aus einer Geraden. Das ist doch reine Logik. Sobald Du einen Wert Fixierst, kannst Du alles Berechnen.
Wenn aber eine (noch so kleine) Krümmung vorliegt kann man ja theoretisch berechnen, wie groß der Radius sein muss (wir haben ja vorgegebene Werte-->Krümmung). Dann bekommen wir für r einen Wert heraus, der ungleich unendlich ist.Jedoch war ja r=unendlich vorgegeben. Also muss der Umfang ja theoretisch einer Gerade entsprechen, denn wenn dies so ist, ist es unmöglich den Radius zu bestimmen, weil er "zu hoch" sei ---> undefiniert ---> unendlich.
"" ist es unmöglich den Radius zu bestimmen, weil er "zu hoch" sei ---> undefiniert ---> unendlich."" Da hast Du es doch auf den Punkt gebracht. Nur weil Du es nicht Rechnen kannst. Ist der Kreis noch lange keine Gerade.
Es gibt 2 Möglichkeiten:
1. Der Umfang BESITZT eine gewisse Krümmung. In diesem Falle ist es möglich den Umfang zu berechnen ---> kein unendlicher Radius.
2. Der Umfang besitzt KEINE Krümmung/gleich einer Geraden. In diesem Falle kann man den Umfang nicht berechnen, weil die Gerade ja -->endlos<-- weitergeht, ohne jemals wieder an ihren Ursprungspunkt zu gelangen. Das jedoch macht ja die UNENDLICHKEIT dieses "Kreises" aus...
Es gibt immer wieder neue Argumente für und gegen beide Seiten :) Aber deinen Ansatz finde ich sehr gut.
Ich glaube hier muss die mathematische Unendlichkeit und eine Zahl ohne Ende unterschieden werden . Um die gewohnten Formeln anwenden zu können, muss r Element von R sein und so eine Zahl ohne Ende ist eben nicht definiert .
Das Problem bei Unendlichem Radius ist Das der Umfang nicht auch Unendlich seien kann U= 2 X R X Pi. Da kann der Umfang nicht auch noch Unendlich sein. Das Widerspricht sich. Das ist kein Paradox sondern eine Falsche Angabe eines der Maße Sonst wäre ja U=R..! es Muss ein Maß her.
Ich würde mal einfach behaupten, dass es keine gerade ist sondern eine Art Ebene
beispiel:
betrachte die folge der zahlen a(n)=1/n, d.h. (1,0.5,0,25.0.125,....)
diese zahlen werden immer näher gegen die 0 gehen, sind aber stets ungleich 0. TROTZDEM, ist der grenzwert 0. deswegen heißt es ja grenzwert, damit sind die hälfte der bisherigen aussagen in den antworten anderer user völliger blödsinn. gerade deshalb heißt ein grenzwert ja grenzwert, weil es um einen GRENZfall geht. erst im "grenzfall" ist obige folge bei der 0, aber dann IST sie es auch tatsächlich.
zuerst muss man definieren, wie man den unterschied zwischen den größer werdenden kreisen (eine folge von größer werdenden radien ist nötig, denn nur mit einer folge kommt man ins unendliche durch grenzwertbetrachtung) und einer geraden misst.
hier ein paar möglichkeiten:
möglichkeit 1:
eine kurve nähert sich einer geraden an, wenn an jedem punkt der kurve die krümmung gegen 0 geht. PROBLEM: ein unendlich großer kreis enthält auch punkte auf einer "unendlich" weit entfernten kreislinie, d.h. die punkte des kreises selbst sind auch nur noch im unendlichen, existieren im grenzfall also nicht. man kann also nicht die krümmung messen.
modifikation: betrachte die folge von halb-kreisen, die mittelpunkt beim punkt (0,r) haben und radius r und die untere hälfte betrachtet wird. dann konvergieren die punkte des halbkreises tatsächlich gegen punkte auf der horizontalen geraden. (ich halte dabei offen auf welche art und weise das geschieht)
frage: ist das noch ein kreis mit unendlichem radius? im unendlichen ist der mittelpunkt ja ganz verschwunden... das ist dann definitionssache.
möglichkeit 2:
man gibt eine spezielle gerade vor, der man sich annähern möchte, so wird ein kreis niemals eine gerade ergeben, da es auch viele punkte gibt, die weit weg von der geraden sind (ein kreis geht ja rund herum)
worauf es letztlich ankommst ist: ein verfahren zum messen des unterschieds aufstellen. erst DANN kann man eine mathematische antwort geben. alles vorherige ist philosophie und kann zu unterschiedlichen meinungen führen, weil unterschiedliche "messungen" des unterschieds zugrunde liegen. so kann man sich nicht verständigen.
zu den in deiner frage genannten möglichkeiten:
2 und 3 sind blödsinn, weil diese beiden vorstellungen sich daran klammern, dass eigenschaften eines objekts aus einer folge von objekten im grenzfall erhalten bleiben, was in wahrheit aber keineswegs richtig ist. (vgl. bsp mit a(n) = 1/n ist immer ungleich 0, aber im grenzfall ist diese eigenschaft verloren). zu 3 speziell: offenbar ist das intervall von -unendlich bis +unendlich eine gerade. die folge von interfvallen der form [-r,r] geht für r->unendlich je nach konzept der "unterschieds-messung" freilich gegen eine gerade. dabei zählt das argument "geht nicht, weil sonst keine (endliche) länge mehr umfasst wird" natürlich nicht. genauso ist es bei kreis und fläche. die fläche die der unendlich große kreis umfasst (im grenzfall) ist eben eine ganze ebene, so wie hier die "länge" eine ganze gerade ist. es gibt also "konzepte" den unterschied zu messen, der diese vorstellung furchtbar dumm erscheinen lässt. eigenschaften von folgen übertragen sich nunnmal NICHT automatisch auf den grenzwert. (es gibt eigenschafte, die sich doch übertragen, aber eben geht das nicht im allgemeinen)
deine möglichkeit 1 wäre anschaulich eine mathematisch richtige art und weise die konvergenz zu erklären, ist aber in der form noch nicht durchführbar, da wie weiter oben in meinem text erwähnt, nicht klar ist, wo die punkte, deren krümmung man messen möchte, hingehen. man könnte aber den kreis in polar-koordianten ausdrücken und die krümmung am schnittpunkt der kreislinie mit einem eingezeichneten winkel messen. der winkel ist dann stets zwischen 0° und 360°, also ist klar, was damit passiert. dann kann manin der tat sagen, dass die krümmungen gegen 0 gehen. das sagt aber leider noch nicht, dass mit dieser anschauung jeder zufrieden ist. ich bin es nicht, da es punkte gibt, die im unendlichen verschwinden, was eigentlich divergenz bedeutet, statt konvergenz. man kann das so sehen: es gibt punkte, die immer näher gegen die gerade gehen (zB untere kreislinie, wie in meiner modifikation oben), aber auch punkte, die sich sehr weit von der geraden entfernen.
und bevor ich es vergess: jmd. hat behauptet, dass 0.999.....periode und 1 nicht dasselbe wären. die beiden zahlen sind aber in der tat IDENTISCH. das ist wie 0.33333periode und 1/3 sind identisch. das sind unterschiedliche darstellungsweisen. bruch und dezimalbruch. kann man ineinander umwandeln. sind beides richtige darstellungen derselben zahl. genauso ist dann auch 0.99999perionde und 9/9 identisch, was zufällig auch 1 ergibt nach kürzen.
mathematische Paradoxons werden gerne im SciFi-Genre für die Raum-Zeit-Krümmung verwendet ;)