Hebbare Definitionsücken?

Hallo,

ich hätte eine Frage zu den folgenden beiden Funktionen:
f(x)= x*ln(1/x)
und
g(x)= x*ln(x)
In beide Funktionsterme darf man ja für x nicht 0 einsetzen und bei beiden ist der Grenzwert gegen 0, also lim(x->0+)f(x) bzw. g(x)= 0
Wenn ich mir die Graphen der beiden Funktionen jetzt in GeoGebra anschaue, hat f(x) bei x=0 eine hebbare Definitionslücke, also ein Loch, während g(x) dort kein Loch hat.
Nun meine Frage: warum lässt sich bei f(x) anscheinend die 0 irgendwie wegkürzen, sodass es ein Loch gibt und was hat g(x) stattdessen an der Stelle x=0, wenn es kein Loch hat, weil man ja x=0 trotzdem nicht einsetzen darf?

Danke im Voraus.

LG

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Geogebra scheint hier nicht genau zu sein. Der Algorithmus interessiert sich nur für Brüche. Bei x⁻¹ sucht er auch nicht nach hebbaren Definitionslücken. bei x ↦ xx⁻¹ zeigt Geogebra sogar komische Sachen, nämliche viele Extremstellen, obwohl die Funktion dieselbe wie x ↦ x/x sein sollte.

Es ist x ln(1/x) = - x ln(x). Die beiden Funktionen sind also nur an der x-Achse gespiegelt und bei beiden ist die Fortsetzung nach [0; ∞[ mit 0 ↦ 0 stetig.

Answer 2

[PMeindl]

g(x) hat bei x=0 kein Loch, sondern eine Asymptote und somit eine Polstelle.

f(x) hat sozusagen 2 Unendlichkeiten, die sich gegenseitig aufheben können.