Hallo, kann jemand anschaulich erklären erklären, was Hauptvektoren sind, am besten sogar eine geometrische Interpretationl liefern?

Für Eigenvektoren gilt: Av=av. Der Eigenvektor ist also so ein Vektor, der von der Matrix nur gestreckt, aber nicht gedreht wird. Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann kann man so viele Eigenvektoren finden, wie die Matrix Zeilen/Spalten hat. Geht man in die Basis aus Eigenvektoren, dann hat die Matrix Diagonalform.

Die obere Bedingung kann man auch so umschreiben: (A-a)v=0. Die Matrix A-a projiziert also den Eigenvektor v zum Eigenwert a auf den Nullvektor runter.

Nun kann es passieren, dass eine Matrix nicht diagonalisierbar ist. In diesem Fall, gibt es zu wenige Eigenvektoren, um eine Basis zu erzeugen. Das beste, was man in so einer Situation machen kann, ist es, die vorhandenen Eigenvektoren zu nehmen und sie durch weitere Vektoren h zu ergänzen. Da diese Vektoren keine Eigenvektoren sind, gilt (A-a)h!=0 (ungleich Null), sie werden also nicht auf Null projiziert. Man kann Vektoren h finden, sodass sie in einen Eigenraum (also dem Unterraum, der von den Eigenvektoren zu a aufgespannt wird) runter projiziert werden. Wendet man die Matrix A-a nochmal an, erhält man dann doch wieder Null: (A-a)²h~(A-a)v=0. Die Vektoren h nennt man Hauptvektoren und zusammen mit den Eigenvektoren v zu a spannen sie den ersten Hauptraum von a auf.

Nun kann es passieren, dass auch die Vektoren h zusammen mit den Eigenvektoren v nicht ausreichen, um eine Basis zu bilden, der Hauptraum also nicht groß genug ist. Dann sucht man nach Vektoren, die durch Anwenden von A-a in den Hauptraum projiziert werden (sodass sie durch ein weiteres Anwenden von A-a in den Eigenraum projiziert werden und ein letztes Anwenden von A-a auf Null projiziert werden).

Warum das alles? Man möchte die Matrix auf Jordan Normalform J bringen, wenn die Diagonalform schon nicht möglich ist. Die Basis muss so gebaut sein, dass das Anwenden von J-a die Basisvektoren im Unterraum von a auf Null projiziert. In einem Schritt ist es nicht möglich, weil J -a nicht Null ist (Jordan Normalform hat Einsen oberhalb der Diagonale!). Aber der Teil von J-a, der dem Unterraum von a entspricht (das zugehörige Jordanblöckchen), ist eine nilpotente Matrix, wenn ich sie mehrfach anwende, dann wird sie irgendwann Null. Das ist das beste, was man bei einer nichtdiagonalisierbaren Matrix erreichen kann.