Halbe Höhe, halbes Volumen bei Kegel
Ein kegelförmiges Glas hat die Gestalt eines Kegels mit d=6,6cm und h=9,7cm. Wie viel Prozent des Rauminhaltes sind noch gefüllt, wenn es "halbvoll" ist (halbe Höhe)? Wie hoch steht der Saft, wenn es "halbvoll" (halbes Volumen) ist?
4 Antworten
Hallo, nighto
Strahlensatz ist das Stichwort für den zweiten Teil der Aufgabe.
Aus den Angaben, die Du hast, kannst Du das Volumen des Glases nach der Formel V=1/3*π*r²*h berechnen. Du erhältst das für ein Glas recht ungewöhnliche Volumen von 110,619 cm³. Wenn das Glas nur halbvoll ist, enthält es somit 55,31 cm³ Flüssigkeit. Der gefüllte Teil des Glases bildet einen Kegelstumpf, der durch den leeren Teil zu dem ursprünglichen Kegel ergänzt wird.
Von diesem kleineren Kegel kennen wir das Volumen: 55,31 cm³, aber wir wissen weder die Höhe noch den Radius. Wir kennen aber das Verhältnis zwischen Höhe und Radius: es ist dasselbe, wie das Verhältnis von Höhe zu Radius des kompletten Kegels, nämlich 9,7:3,3, also 2,94.
Die Höhe des kleinen Kegel beträgt somit das 2,94fache seines Radius'.
Wir können also schreiben: h=2,94r, wobei mit h und r hier die noch unbekannten Größen des kleinen Kegels gemeint sind, nicht die bekannten des großen.
Nun brauchen wir noch eine zweite Gleichung, in die wir 2,94r für h einsetzen können. Die erhalten wir, wenn wir einfach die Formel für für das Volumen des kleinen Kegels zu Hilfe nehmen, dessen Volumen ja bekannt ist: 55,31 cm³.
Wir schreiben also: 1/3*π*r²*2,94r=55,31 cm³, vereinfacht:
0,98*π*r³=55,31, woraus folgt:
r³=55,31/(0,98*π)=17,965, also:
r=2,62 cm
h=7,7
Der Wasserstand beträgt somit 2 cm (9,7-7,7), denn die errechnete Höhe war die des leeren Kegels, so daß für den Kegelstumpf (den gefüllten Teil) noch 2 cm übrigbleiben.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo nochmal,
die erste Aufgabe ist einfacher. Auch hier benötigst Du den Strahlensatz, um den neuen Radius auszurechnen. Hier beträgt das Verhältnis von der halben Höhe, also 4,85 cm zu dem neuen Radius ebenfalls 2,94, was bedeutet, daß der Radius des Kegels, der in halber Höhe des Glases beginnt, 1,65 cm beträgt.
Daraus läßt sich nach der bekannten Formel das neue Volumen von 13,83 cm³ berechnen, welches 12,503% des Glasvolumens von 110,619 cm³ ausmacht.
Gruß, Willy
Du musst für einen halben Kegel das Volumen des ganzen Kegels berechnen.Daraufhin musst du das Volumen des später fehlenden Teiles berechnen (Originalhöhe - "halbe" Höhe = Höhe der "Spitze".Dann berechnest du das Volumen der Spitze (Bedenke:Die Grundfläche ist anders ,bzw. kleiner, als die Grundfläche des ganzen Kegels.Wenn du das Volumen dann hast subtrahierst du es einfach von dem Originalkegel und hast dann das Volumen vom sogenannten "Kegelstumpf".Via Dreisatz ("Prozent" zu "Volumen") errechnest du dann den prozentualen Anteil.Desweiteren kannst du dann durch die Formelumstellung zb. die Safthöhe berechnen.Hoffe ich konnte helfen ^^
Der Kegel mit halber Höhe sieht aus wie der Originalkegel,
aber im Maßstab 2:1 verkleinert, also Radius ½r statt r und Höhe ½h statt h,
und das Volumen ist ⅓π(½r)²(½h) = ⅛ ∙ ⅓πr²h, also ⅛ = 0,125 = 12,5%
des ganzen Volumens. Bei Verkleinerung von h und r um den Faktor k (statt ½)
verkleinert sich das Volumen um den Faktor k³. Für halbes Volumen muss also
k³ = ½ sein, oder k = ∛(½) ≅ 0,794 = 79,4% der Höhe.