Finden Sie einen Isomorphismus?
Moin, kann mir wer da helfen?
isomorphismus bedeutet ja bijektive Abbildung. Das heißt f(U) =W und f-1(W)=U
och dachte mir ich denke mir erstmal eine Abbildungavorshrift aus, aber die ich dann hatte, hat f-1(W)=U nicht erfüllt
1 Antwort
Bevor wir da loslegen und irgendwas hinschreiben, stellen wir erstmal ein paar Vorüberlegungen an. Damit überhaupt ein Isomorphismus existieren kann, müssen U und W die selbe Dimension haben. Bei U sieht man relativ leicht ein, dass dim(U)=2 gilt. Das gegebene Erzeugendensytem von W bestehet aus drei Vektoren. So wie die Aufgabe gestellt wurde, ist klar, dass auch dim(W)=2 gelten muss. Aber das müssen wir trotzdem erstmal zeigen. Das ist also deiner erste Aufgabe. Im Zuge dessen, konstruierst du dann auch eine Basis für W. Wenn du diese vorliegen hast, reicht es die zwei Basisvektoren von U bijektiv auf die zwei von W abzubilden. Durch diese Vorgabe wird dann bereits eine eindeutige lineare Abbildung f bestimmt. Du kannst dir dann noch überlegen, warum f bereits bijektiv ist.
Wie hast du es denn abgebildet? Es reicht doch einfach, wenn du die Bilder der zwei Basisvektoren angibst.
Ja dim(W) =2 das hab ich mittlerweile auch rausgefunden. Man kann (-3,3,2,-3)als linearkombination von 2*(-1,2,1,-1)+(-1)* (1,1,0,1) darstellen. Also kann man <W> auch ohne (-3,3,2,-3) darstellen.
Dann habe ich U—> abgebildet, aber als ich f-1 (W) gemacht habe um zu checken ob U rauskommt hat’s nicht geklappt
<U>= r(1,0,1)+s(1,-1,1) = (r+s, -s, r+s)
<W>= r(-1,2,1,-1)+s(1,1,0,1)= (-r+s, 2r+s, r, -r+s)
(r+s, -s, r+s) soll auf
(-r+s, 2r+s, r, -r+s) abgebildet werden
aber jetzt weiß ich nicht genau wie ich die Abbildungsvorschrift finde
Nein, daraus würde zwar die Isomorphie folgen, aber du musst einen angeben. Aber ich würde hier nicht versuchen eine konkrete hinzuschreiben. Eine lineare Abbildung ist eindeutig durch Angabe der Bilder der Basisvektoren bestimmt. Das heißt es reicht die Abbildung auf den zwei Basisvektoren zu definieren. Dafür musst du nur angeben, worauf du z.B. (1,0,1) abbildest.
Also sagen wir
u1=(1,0,1)
v1= 1 v2=0 v3 = 1
bilde ich ab auf
(-v1, 2*v3 , v3, -v1) wird zu (-1,2,1,-1)
und u2= (1,-1,1)
v1= 1 v2=-1 v3 = 1
bilde ich auf
(v1, v1, v1-v1, v1) wird zu (1,1,0,1)
aber das wäre ja nicht Bijektiv
Du schreibst es zwar etwas kompliziert auf, aber du machst das Richtige. Einfach die Basisvektoren auf die Basisvektoren schicken. Das gibt dann eine lineare Abbildung auf ganz U. Wie erhalte ich diese? Jedes u kann ich schreiben als u=xu1+yu2, wobei u1 und u2 die Basisvektoren bezeichnen soll. Dann setze ich einfach
f(u)=xf(u1)+yf(u2)
Diese Abbildung ist bijektiv, nicht die Abbildung auf den zwei einzelnen Vektoren. Das kannst du dir mal überlegen.
bei f(u)=xf(u1)+yf(u2) wendet man ja die gleiche Abbildungvorschrift auf beide basisvektoren an, aber wie finde ich die Abbildungavorschrift
dieses f(u)=xf(u1)+yf(u2) muss ja=W sein
Die musst du nicht finden. Es reicht die f(ui) anzugeben und dann erhält man eine lineare Abbildung über obige Definition.
Also reicht es zu sagen dimU=dimW (mit Beweis) und dann halt
W=f(u)=xf(u1)+yf(u2)
Dann noch ein Satz dazu warum es bijektiv ist?
W=f(u) ist falsch, da W ein Vektorraum ist und f(u) ein Vektor. Aber es reicht die f(u1) und f(u2) anzugeben, wie von dir oben gemacht. Dann noch eine Begründung warum die so definierte Abbildung bijektiv ist:
f(u)=xf(u1)+yf(u2)
Vielleicht habt ihr dazu auch was in der Vorlesung gemacht (Basis auf Basis).
Ja dim(W) =2 das hab ich mittlerweile auch rausgefunden. Man kann (-3,3,2,-3)als linearkombination von 2*(-1,2,1,-1)+(-1)* (1,1,0,1) darstellen. Also kann man <W> auch ohne (-3,3,2,-3) darstellen.
Dann habe ich U—> abgebildet, aber als ich f-1 (W) gemacht habe um zu checken ob U rauskommt hat’s nicht geklappt