Faktorisierte Form und Symmetrie bei Parabeln?
Hallo!
Meine Aufgabe ist: Faktorisierte Form und Symmetrie: ganz schön praktisch! Bestimme jeweils Nullstellen und Scheitelpunkt.
a) y(x)= x(x-3)
b) y(x)= (x-2)(x+2)
c) y(x)= -2(x+1)(x+4)
d) y(x)= (x+3)²
e) y(x)= -2(x-1)²
f) y(x)= (2-x)²
g) Welche der Funktionen a) bis f) stellen verschobene Normalparabeln dar? Die Graphen dieser Funktionen lassen sich besonders einfach zeichnen.
Was muss ich rechnen um die Aufgaben zu lösen?
2 Antworten
Schau dir mal die erste Aufgabe an.
Der Ausdruck " x(x-3)" ist ein Produkt. Ein Produkt ist dann = 0, wenn einer der beiden Faktoren =0 ist.
Bei der ersten Aufgabe bekommst du für die Nullstellen ( y(x) = 0) quasi schon eine Lösung durch hingucken.
y(x) = 0 wenn entweder x=0 oder (x-3)=0, also x =3
Deine beiden Nullstellen liegen als bei [0;0] und bei [3;0]
Für den Scheitelpunkt berechnest du die Nullstelle der ersten Ableitung.
y´(x) = x´(x-3) + x(x-3)´ = 1 * (x-3) + x * 1 = 2x -3 = 0
2x -3 =0 -------> x = 1,5 = Scheitelpunkt
b) und c) kannst du völlig analog machen und bei den Aufgaben ab d) nimmst du einfach die Quadratterme auseinander.
(x+3)² = (x+3) * (x+3) ------->hier hat jede Klammer für sich eine Nullstelle bei x=-3.
So etwas nennt man eine Doppelnullstelle.
In allen Aufgaben hast du die faktorisierte Form gegeben. In dieser Form kannst du die Nullstellen ablesen
a) y(x) = x(x-3) ➽ Hier sieht man, dass wenn du für x eine 0 oder 3 einsetzt, das Produkt 0 wird, damit y(x) 0 wird und bei den Nullstellen (x-Achsenschnittpunkte) ist nunmal der y-Abschnitt y(x) = 0.
Wenn du zwei Nullstellen gefunden hast, dann liegt der Scheitelpunkt genau dazwischen. Wenn es nur eine Nullstelle gibt, dann ist diese zugleich der Scheitelpunkt.
Bei a hast du die Nullstellen x₀₁ = 0 und x₀₂ = 3. Der Scheitelpunkt liegt aufgrund der Symmetrieeigenschaft genau dazwischen, nämlich bei x = 1,5. Du musst nur noch y(1,5) für die Koordinate ausrechnen.
Ok das hab ich jetzt verstanden...aber wie rechne ich jetzt y(1,5) aus?