Faires Spiel?
Ich befinde mich gerade wieder in der Prüfungsvorbereitung und musste feststellen, dass ich mit dem fairen spiel gar nicht zu recht komme. mein größtes Problem ist die Tabelle. Komme ich mal zur Aufgabe: Bei einem Glücksspiel werden 2 Würfel geworfen. Wenn das Produkt X der Augenzahö mindestens 10 beträgt, erhält man X cent ausgezahlt, sonst nichts. a) Wie groß ist der Erwatungswert für einen Gewinn bei einem Einsatz von 20 Cent? b) Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
Ich weiß, das nur 10,11 und 12 gewinnen. Das heißt, dass 6 aus 36 Möglichkeiten gewinnen. Kann mir jemand erläutern wie man die Tabelle aufstellt?
3 Antworten
Wenn ich eine 3 und eine 6 würfle, ist das Produkt der Augenzahlen doch 18, also auch mindestens 10... Also können nicht nur 10, 11 und 12 gewinnen.
Ich weiß zwar nicht so genau, was für eine Tabelle du aufstellen möchtest, aber um den Erwartungswert zu bestimmen, brauchst du für jedes mögliche Produkt die Wahrscheinlichkeit sowie den dazugehörigen Gewinn. Beispiel:
- Das Produkt 1 ist nur möglich, falls ich einen Einser-Pasch würfle. Dies passiert mit W-keit 1/36. Der Gewinn in diesem Fall beträgt -20ct.
- Das Produkt 2 ist nur möglich, falls ich eine 1 und eine 2 würfle. Dies passiert mit W-keit 2/36. Der Gewinn beträgt wieder -20ct.
- Das Produkt 4 ist möglich, falls ich eine 1 und eine 4 oder einen Zweier-Pasch würfle. Dies passiert mit W-keit 3/36. Der Gewinn beträgt -20ct.
(ich habe hier aus Faulheit das Produkt 3 übersprungen). So rechnest du für jedes mögliche Produkt der beiden Augenzahlen die W-keit sowie den dazugehörigen Gewinn aus.
Die möglichen Produkte liegen offenbar alle zwischen 1 und 36, aber nicht alle Zahlen treten auf. So ist 7 z.B. kein Produkt zweier Zahlen zwischen 1 und 6.
Am Ende berechnest du den Erwartungswert als
E(X) = p(1) * f(1) + p(2) * f(2) + p(3) * f(3) + ... + p(36) * f(36).
Hierbei steht p(k) für die W-keit, dass das Produkt k geworfen wird und f(k) für den Gewinn, falls das Produkt k geworfen wird.
Da steht Produkt und nicht Summe, ich Idiot..
Jetzt macht die Aufgabe auch Sinn, vielen Dank. :)
Hallo,
gefragt ist nach dem Produkt, nicht nach der Summe. Das Produkt zweier Würfelzahlen ist in 19 von 36 Fällen größer oder gleich 10.
Das kannst Du leicht nachprüfen.
Zeigt der erste Würfel eine 1, führt keine Kombination zu einem Produkt von mindestens 10.
Bei einer 2 passen nur eine 5 und eine 6.
Bei der 3: 4, 5 und 6
4: 3, 4, 5 und 6
5 und 6: jeweils 2, 3, 4, 5 und 6
Das sind 2+3+4+5+5=19 Möglichkeiten.
Wann ist das Spiel fair?
Wenn Du alle 36 Möglichkeiten durchspielst und jede Möglichkeit geschieht genau einmal, hast Du insgesamt 1,90 Euro eingenommen (19*0,10). Dafür hast Du 36 mal einen Einsatz bezahlt.
Soll das Spiel fair sein, mußt Du pro Spiel 190/36 Cent=5,28 Cent bezahlen. Dann hättest Du am Ende genausoviel bezahlt wie gewonnen.
Zahlst Du 20 Cent pro Einsatz, liegt Dein Verlust nach 36 Spielen (im idealen Fall, daß jede Möglichkeit genau einmal vorkommt), bei 36*0,20=7,20-1,90=5,30 Euro, pro Spiel also bei 530/36=14,73 Cent.
Herzliche Grüße,
Willy
Danke habe ich auch raus bekommen nachdem ich herausgefunden habe, dass das Produkt gefragt ist.
Ich stehe gerade auf dem Schlauch, aber wo steht, dass man pro Gewinn 10 Cent bekommt?
Nun bin ich komplett verwirrt, heute scheint echt nicht mein Tag zu sein. Ich würde es so rechnen: 1/36* (-0,2)+... bis ich über der Augenzahl 10 komme, dann müsste ich ja z.B. 2/36*(X-0,2) rechnen?
Also bei 38 Cent Einsatz ist das Spiel fair?
Wenn es dir nichts ausmacht, könntest du mir evtl noch bei einer anderen Aufgabe helfen? " Bei einer Meinungsumfrage werden erfahrungsgemäß nur ca. 80% der ausgesuchten Personen angetroffen. mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht jeweils die Anzahl der angetroffenen Personen höchstens um 10 vom Erwartungswert ab , wenn 50 bzw 100 Personen ausgesucht werden? Der Erwartungswert ist doch 80 oder? Ich habe bei 50 Personen 0,000136 heraus, aber ich habe das Gefühl, das ist falsch, da ich keine Idee habe wie die 100 einbauen sollte.
Das müßtest Du eigentlich über eine Bernoulli-Summe berechnen können. Der Erwartungswert bei 100 Personen läge bei 80 % Wahrscheinlichkeit, jemanden anzutreffen, bei 80 angetroffenen Personen. Du mußt dann die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, daß 70, 71, 72 ...89, 90 Personen angetroffen werden und daraus die Summe bilden. Hast Du einen Taschenrechner mit Summenfunktion, ist das schnell erledigt: Summe von x=70 bis x=90 von (100 über x) mal 0,8^x mal 0,2^(100-x)=0,9916, also 99,16 %.
Was das Spiel betrifft: Bei 38 Cent Gewinn wäre es fair, der Einsatz betrug doch 20 Cent.
Bei 50 Personen liegt der Erwartungswert bei 40 und Du mußt die Zahlen entsprechend angleichen.
Hallo Blado1,
schau mal hier:
http://www.matheboard.de/archive/8858/thread.html
Gruß von leiermann
Kommt zwar jetzt ein wenig komisch rüber, aber nachdem ich die Aufgabe gerechnet habe, habe ich sie mir noch einmal angeschaut und meine Aufzeichnungen waren wohl nicht genug. Jetzt komme ich jetzt einfach nicht mehr daran, woher die 1.90 stammen. Es sind zwar 19 Gewinnmöglichkeiten, aber die 0,1 lassen sich mir nicht erblicken. Kannst du mir dies beantworten?