alternierende Kettenwurzel = alternierender Kettenbruch Beweis?
Hallöle,
ich spiele immer noch mit Mathe herum, jetzt aber gerade mit Kettenwurzeln und Kettenbrüchen. Dabei bin ich darauf gestoßen, dass die alternierende Kettenwurzel:
gegen 1/φ geht, wobei φ der Goldene Schnitt ist.
Interessanter Weise, geht auch der alternierende Kettenbruch:
gegen 1/φ.
Allerdings, tendiert der Grenzwert der Kettenwurzel für n gegen inf gegen inf, während der Grenzwert des Kettenbruches gegen 0 geht.
Meine Vermutung ist nun, dass dieser Zusammenhang: alternierende Kettenwurzel = alternierender Kettenbruch, nur für n = 2 gilt. n Element der natürlichen Zahlen.
Höchst wahrscheinlich bin ich nicht der erste, dem das aufgefallen ist und der diese Idee hatte. Daher wollte ich fragen, ob für diese Vermutung ein Beweis/Gegenbeweis existiert und wenn ja wie dieser aussieht. c:
2 Antworten
Das ist glaube ich recht simpel.
Wenn dein Kettenbruchgrenzwert streng monoton fällt und dein Kettenwurzelgrenzwert streng monoton steigt, dann gibt es (sofern die Wertebereiche übereinstimmen) genau einen Schnittpunkt.
Tun sie das? Na ja, warum sollten sie es nicht tun. Schließlich ist die Kettenwurzel auch nur eine Art Wurzelfunktion, usw.
Setze für die Kettenwurzel an:
x = Wurzel( n - Wurzel( n + x)), löse nach x
Setze für den Kettenbruch an;
y = 1/ ( n - 1/ (n + y) ), löse nach y
Lass dir evtl. von einer Software beim Lösen helfen, z.B Wolfram alpha
Versuche, x und y gleichzusetzen und das mögliche n zu ermitteln.
Viel Spass