Wieso ist dieser Grenzwert Pi?
Hi,
wisst ihr vielleicht, wieso hier Pi als Grenzwert herauskommt?
ich verstehe nicht so ganz wieso, müsste es nicht eigentlich unendlich sein?
VG
6 Antworten
Der Limes muss gegen 0 streben, damit die Behauptung wahr ist. Nun die Erklärung:
lim((n + 1/n) * sin(PI * n))
= lim(n * sin(PI * n) + sin(PI * n) / n)
Der erste Summand strebt gegen 0, also bleibt:
= lim(sin(PI * n) / n)
Zähler und Nenner streben gegen null – ein Fall für l'Hospital!
= lim((sin(PI * n))' / (n)')
= lim((PI * cos(PI * n)) / 1)
= lim(PI * cos(PI * n))
cos(0) = 1, also:
= PI
Ist deine Formel falsch? sinus nimmt an allen Stellen n*pi den Wert 0 an, sodass der Grenzwert eigentlich 0 ist.
Ich denke, dass eigentlich "(n +1/n) *sin(pi/n)" stehen sollte.
Im letzteren Fall: wende l'Hospital auf sin(pi/n) / (1/(n+1/n)) an.
- sin(pi/n)' = -pi*cos(pi/2) / n^2
- (1/(n+1/n))' = -(x^2 -1)/(x^2 +1)^2
- lim (n +1/n) *sin(pi/n) =
- = lim pi*cos(pi/2)*(n^2 +1)^2 / (n^2 * (n^2 -1))
- = lim pi*cos(pi/n) = lim pi*1 = pi
Man kann das bestimmt auch mit der Reihenentwicklung machen, aber dass ist mir zu aufwendig.
>Ich denke, dass eigentlich "(n +1/n) *sin(pi/n)" stehen sollte.
Das ist das einzige, was auch Sinn macht.
Warum der Grenzwert pi sein soll, weiß ich auch nicht so ganz, aber gegen Unendlich kann das nicht konvergieren, weil sin(pi*n) auch mit wachsendem n immernoch zwischen 1 und -1 oszilliert. Also müsste mit wachsendem n stets auch das Vorzeichen hin und her wechseln.
Den Limes definiert man eigentlich nur im Reellen, wenn ich mich recht erinnere.
Nein dem Limes ist es egal ob die Zahl eine reelle Zahl, natürliche Zahl oder sonst eine Zahl ist.
Wenn man den Grenzwert von Folgen betrachtet ist der Folgenindex so gut wie immer eine natürliche Zahl.
Viel eher kommt der Grenzwert sogar von Folgen wobei die Indizes nur natürliche Zahlen sind. Der Grenzwert auf Funktionen wird dann durch den Übergang von den natürlichen zu den rellen Zahlen gemacht.
Ah stimmt, gutes Beispiel.
Aber "sonst eine Zahl" kann man nicht sagen. Wenn es auf der Menge nämlich keine Ordnung gibt, weiß der Limes nicht, in welche Richtung er sich bewegen soll. ;-)
Ja es muss eine die Rellation a < b zweier Zahlen aus diesem Raum eindeutig definiert sein, dann gehts.
Mit sonst einer Zahl war jede Zahl gemeint die eine solche Eigenschaft erfüllt.
man betrachte einen Kreis als n - Eck. Dann kannst du bei einem n - Eck den Umfang berechnen und n gegen unendlich laufen lassen und dabei kommt diese Formel raus
Warum hier Pi rauskommt kann ich auch nicht sagen aber unendlich ist es nicht weil sin(n*pi) für jede Natürliche Zahl n gleich 0 ist.
Nein sin(pi*n) ist immer 0 sofern, n wie üblich eine natürliche Zahl bezeichnet.