Wie löst man diese Mathe Aufgabe?
Felix lauft mit konstanten 12 km/h eine Runde um den Otto-Maigler-See.
Er startet die 7,8 km lange Strecke am Strandbad. Susanne startet 3 Minuten später und läuft in die entgegengesetzte Richtung. Sie läuft mit konstanten 15 km/h.
Berechne, wie lange Felix laufen muss, bis er auf Susanne trifft. Bestimme, wie weit die beiden zu diesem Zeitpunkt von dem Strandbad entfernt sind.
3 Antworten
Schaue Dir mal obige Grafik an
Zuerst habe ich die Situation mit dem See aufgezeichnet. Die Form des Sees spielt keine Rolle, es könnte auch eine völlig unregelmässige Form sein (statt ein kreisrunder See). Felix läuft in die eine Richtung um den See, Susanne in die andere, beide starten vom gleichen Punkt, allerdings nicht mit der gleichen Geschwindigkeit und Susanne zudem 3 min. später.
Etwas einfacher habe ich die Aufgabe im Abschnitt "statt See" aufgeschrieben. Hier stellt man sich eine Strecke vor, wobei Felix zu Beginn an deren Anfang steht und Susanne zu Beginn an deren Ende. Man stelle sich den Seeumfang als eine kreisrunde Schnur vor. Nun schneide ich diese Schnur bei der Badeanstalt auf und ziehe die Schnur zu einer Geraden. Dann ist jedes Ende der Schnur der Start des jeweils anderen Läufers, und sie bewegen sich von beiden Enden her aufeinander zu.
Die Frage ist nun, wo sie sich treffen:
Bekanntlich gilt für die Geschwindigkeit (v), Weg (s) und Zeit folgendes Gesetz:
v=s/t
Daraus leitet sich ab, dass der Weg s=v*t ist.
- Die von Felix (12km/h) in der Zeit t zurückgelegte Strecke beträgt 12 * t (er joggt mit 12km/h).
- Die von Susanne in der Zeit t zurückgelegte Strecke beträgt 7.8 - 15 * (t - 1/20). (sie joggt mit 15km/h)
Wir betrachten beide Wege nun vom Schnuranfang (Streckenanfang) her.
Die Formel für Susanne bedarf einer Erklärung: Weil sie vom Ende der Strecke her Richtung Anfang joggt, befindet sie sich zum Zeitpunkt t (aus Sicht vom Anfang, wo Felix gestartet hat), 7.8km minus die von Susanne gelaufene Strecke vom Anfang entfernt. Wenn also Susanne z.B. schon 1km Richtung Anfang gejoggt ist, dann ist ihre Position vom Anfang aus gesehen 7.8km - 1km = 6.8km.
Nun könnten wir für Susanne schreiben, dass sie sich nach t Minuten 7.8 - 15 * t Kilometer vom Anfang her entfernt befindet. Die Aufgabe wird aber noch ein bisschen komplizierter, weil Susanne 3 Minuten später startet als Felix. Um nun eine Gleichung aufzustellen, müssen wir bei Susanne so tun, als ob sie gleichzeitig mit Felix gestartet wäre, d.h. für einen beliebigen Zeitpunkt t müssen wir bei Susanne noch die 3 Minuten abziehen. Da würde man nun gerne "t-3" einsetzen. Aber Vorsicht: Die anderen verwendeten Zeiteinheiten sind in Stunden (z.B. km/h). Man kann hier nicht Kraut und Rüben vermischen, sonst ist das Ergebnis nachher falsch.
Ich habe mich daher entschieden, die 3 Minuten in Stunden auszudrücken. Das wären also 3/60 Stunden, vereinfach 1/20.
Und so erhalten wir für Susanne die Wegstreckenformel in Abhängigkeit der Zeit, die lautet:
7.8 - 15 * (t - 1/20)
Schliesslich müssen wir beide Formeln (die von Felix und Susanne) zu einer Gleichung zusammensetzen. Die Gleichung hilft uns, den Zeitpunkt t zu bestimmen, an dem sich beide treffen. D.h. wir haben:
12 * t = 7.8 - 15 * (t - 1/20)
Und das muss man nach t auflösen (t wäre hier in Stunden).
Ich habe für t den Wert 0.31666666h erhalten (oder 19/60 h als Bruch).
D.h. nach 0.316666h (oder 19 Minuten) würden sich Felix und Susanne treffen.
Um herauszufinden, welche Strecke (Entfernung zum Strandbad) beide zurückgelegt haben, setzt man nun diese berechnete Zeit (0.316666h) in die unmodifzierte Streckenformel (s=v*t) für Felix und Susanne ein:
Felix: 12*t = 12* (19/60) = 19/5 km = 3.8 km
Susanne: 15 * t = 15* (19/60) = 19/4 km = 4.75 km
Mehr zu lesen, aber ich hoffe, dadurch verstehst Du die Aufgabe letztlich, als wenn ein User einfach die fixfertige Formel oder das Endresultat reinschreibt, aber der Lösungsweg und die Ideen dahinter weniger klar sind.
Ja, das hier hilft mir wirklich sehr. Danke für deine Mühe und Erklärung :)
Susanne ist nur 4 km gelaufen. Die beiden Strecken müssen sich zu 7.8 ergänzen. Dein Fehler ist, dass Susanne nur 16 min gelaufen ist.
Tannibi hat mich darauf hingewiesen, dass die letzte Zeile (Susanne: 15 * t = 15* (19/60) = 19/4 km = 4.75 km) nicht richtig ist.
Ich hätte natürlich die Formel für Susanne von oben komplett, d.h. mit dem Teil "(t-1/20)" einsetzen müssen, dann würde es stimmen. Also:
Susanne: 15*(t - 1/20) = 15 * (0.3166666 - 1/20) = 4.0 km
Und somit: sFelix+sSusanne = 3.8 + 4.0 = 7.8 = Gesamtstrecke.
Eine Frage hätte ich noch… wie löse ich nach t auf in dem einen Schritt?
Also Du meinst, wie ich die Gleichung "12 * t = 7.8 - 15 * (t - 1/20)" nach "t" auflöse? Oder etwas anderes?
Obige Gleichung löst sich wie folgt:
12t = 7.8 - 15(t-1/20)
12t = 7.8 - 15t + 15/20
12t = 7.8 - 15t + 3/4
12t = 7.8 - 15t + 0.75
27t = 7.8 + 0.75
27t = 8.55
t = 8.55 / 27 = 0.31666666666 Stunden (0.31666... * 60 = 19 Minuten)
Rechne die km/h in m/s um und stelle für die gelaufene Wegstrecke in Abhängigkeit von der Zeit für beide Läufer eine lineare Funktion auf.
Felix ist nach 3min 0.6 km gelaufen. Bleiben 7.2 km bis zum Zusammentreffen. Das findet nach 7.2/(12+15) = 0.27h statt.
Das sind 16min. Felix ist 19min gelaufen, mit 12 km/h, das Treffen ist also 19/60*12 = 3.8 km vom Strandbad.
Ufff…. Komplizierter bzw. Mehr zu lesen als gedacht…. Aber vielen, vielen Dank!!! :)