vollständige Induktion Summe?

Hallo.

Wir haben im Matheunterricht angeschaut wie man mit der Induktion "beweisen" kann ob ein Satz stimmt. Man sollte ja immer zeigen, dass es für das kleinstmögliche Beispiel stimmt und dann für n+1. Ich komme nun bei n+1 nicht weiter (also beim Induktionsschritt) und wäre froh, wenn jemand mir weiter helfen könnte! Danke im Voraus

Answer 1

[evtldocha]

Tipp: Schreibe im Induktionsschritt die rechte Seite als:

$\left(1+2+3+...n\right)^2\ =\left(\ \frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}\right)^2$ und addiere dazu (n+1)³. Durch geschicktes Ausklammern von (n+1)² und anschließenden zusammenfassen inkl. Anwendung einer binomischen Formel kommst Du auf einen Term:

$\frac{\left(n+1\right)^2\cdot\left(n+2\right)^2}{4}=\left(\frac{\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)}{2}\right)^2$

Nachtrag nach Kommentar (Beachte das Ausklammern von (n+1)² im Zähler in der dritte Zeile und die anschließen Anwendung der binomischen Formel in der vierten Zeile)

Induktionsschritt n --> n+1:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3+\left(n+1\right)^3=^{IV}\left(1+2+3+...+n\right)^2+\left(n+1\right)^3=$ $\left(\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}\right)^2+\left(n+1\right)^3=\frac{n^2\cdot\left(n+1\right)^2}{2^2}+\frac{2^2\cdot\left(n+1\right)^3}{2^2}=$ $\frac{n^2\cdot\left(n+1\right)^2+4\cdot\left(n+1\right)^2\cdot\left(n+1\right)}{2^2}=\frac{\left(n+1\right)^2\cdot\left(n^2+4\cdot\left(n+1\right)\right)}{2^2}=$ $\frac{\left(n+1\right)^2\cdot\left(n^2+4n+4\right)}{2^2}=\frac{\left(n+1\right)^2\cdot\left(n+2\right)^2}{2^2}=\left(\frac{\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)}{2}\right)^2=$ $\left(1+2+3\ +\ ...+\left(n+1\right)\right)^2\$

q.e.d.

Comments

[Laura745751]

was meinen Sie mit

geschicktes Ausklammern von (n+1)²

Also ich sehe nicht wo ich es ausklammern soll.

[evtldocha]

@Laura745751

Ich schreibe Dir den Induktionsschritt als Nachtrag in die Antwort. Vielleicht findest Du dort, was ich mit Ausklammern von (n+1)² gemeint hatte,

[Laura745751]

@evtldocha

Es ist tatsächlich vieles klarer geworden, vielen Dank!

Etwas dass ich noch nicht ganz verstehe ist, wie Sie von hoch 3 auf hoch 2 gekommen sind (ich kann hier leider das Bild nicht einfügen, aber ich meine die Stelle vom 2. Gleichzeichen bis zum 4. Gleichzeichen).

[Laura745751]

@Laura745751

ah nein Sie haben es ja bearbeitet, nochmals vielen Dank ☺️