Stochastik Irrtumswahrscheinlichkeit?

1 Antwort

blechkuebel
05.11.2017, 16:28

Alpha wurde verwendet, um die Größe des Annahmebereichs zu bestimmen.

Wenn die H0 wahr ist, muss man sich die möglichen Ergebnisse als Normalverteilung um 25 herum vorstellen (das ist eine Annahme mit der der Signifikanztest arbeitet). Das heißt, wenn du dieses Experiment häufig durchführst, sollte man oft so ungefähr 25 Erfolge erhalten, ab und zu etwas drüber und ab und zu drunter. Und je weiter drüber oder drunter, desto seltener sollte das passieren.

Erstmal diese Annahme verstanden? Dass die möglichen Stichprobenergebnisse immer so um 25 herum sein sollten? (Und zwar normalverteilt um 25).

Mit dieser Annahme kann man eben bestimmen, welche Werte wahrscheinlich sind und welche nicht. Man kann z.B. bestimmen, welche Werte unterhalb der Normalverteilung zu den extremsten 5% gehören. Die Nullhypothese ist immer dann falsch, wenn das Ergebnis deutlich abweicht, und zwar entweder nach oben (deutlich mehr als 25 Erfolge) oder nach unten (deutlich weniger). Man kann jetzt bestimmen, wo die Fläche der extremsten 5% ist. Da es ein zweiseitiger Test ist, muss man diese 5% -Angabe aufteilen: Man will also wissen ab, welchem Wert die extremsten 2.5 % nach oben hin und die extremsten 2.5 % aller Werte nach unten beginnen. Man teilt also die 5% gleichmäßig auf beide Seiten der Normalverteilung auf.

Wenn man so einen extremen Wert bekommt, also einen der zu den extremsten 2.5% nach oben oder zu den extremsten 2.5 % nach unten gehört, dann verwirft man die H0 und sagt: "So ein Ergebnis ist unter der Annahme, dass die H0 wahr ist, verdammt unwahrscheinlich. Das Ergebnis passt also nicht zur H0. Deswegen müssen wir die H0 verwerfen."

Das ist das grobe Prinzip.

Jetzt muss man aber herausfinden, ab welchem Wert die 2.5% der extremsten Werte beginnen,  wo also die sogenannten kritischen Werte sind, die den Annahmebereich von dem Ablehnungsbereich trennen.
Das heißt die Situation ist folgende: Der mittige Annahmebereich ist 95 % groß, der Ablehnungsbereich 5% (wobei sich diese 5% gleichmäßig auf beide Seiten der Verteilungen aufteilen).

Um die kritischen Werte zu finden, muss man erstmal wissen, welche z-Werte an dieser Stelle sind. Ein z-Wert gibt an, wieviele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert ist. 

Φ(k) = 0.975 --> k = 1.959963962

Normalverteilungstabellen geben oft z-Werte und die Flächen links von diesem z-Wert an. Wenn man wissen will, welcher z-Wert nach oben hin die extreme 2.5 % -Fläche trennt, dann hat man links von dem z-Wert eine 97.5% Fläche. Und offenbar wurde mit dieser Rechnung bestimmt, dass dieser z-Wert des kritischen Wertes k = 1.96 ist. Normalerweise (so kenne ich das) schlägt man eine Fläche (in unserem Fall die 97.5 % Fläche) in der Tabelle nach, und erhält so den z-Wert.

Jetzt wissen wir, dass der z-Wert des kritischen Werts 1.96 ist. Das bedeutet, dass der kritische Wert 1.96 Standardabweichungen über dem MW ist. Gleichzeitig ist die Normalverteilung symmetrisch. Daher ist die kritische z-Wert nach unten hin eben -1.96.

Ok, wir wissen: Der kritische Wert ist 1.96 Standardabweichungen über dem MW. Aber wieviel ist das denn in "Erfolgen"? Ab wievielen Erfolgen ist dann ein Wert im Annahmebereich? Dafür müssen wir überhaupt erstmal wissen, wieviel eine Standardabweichung ist. Und die wurde ja in der Lösung eben berechnet, und da kam heraus gerundet 1 Standardabweichung = Sigma = 3.536 ist. Jede Standardabweichung ist also 3.536 Erfolge. Wieviele Erfolge sind dann 1.96 Standardabweichungen?

1.96 * 3.536 = 6.93056.

Es sind also ca. 6.9 Erfolge

Das heißt, um zu wissen, wo die obere Grenze des Annahmebereichs ist, müssen wir auf den MW (der ja 25 ist), 6.93 Erfolge addieren und abziehen. Dann kriegen wir die Grenzen, die den Annahmebereich vom Ablehnungsbereich trennen. Und die sind offenbar 18.07 und 31.93.

Das heißt: Wenn die H0 wahr ist, sollten 95% aller möglichen Stichprobenergebnisse, die man erhalten kann, zwischen diesen beiden Werten liegen. Ein Ergebnis über 31.93 oder unter 18.07 erhält man mit einer Warscheinlichkeit von 5%.

Wenn an so ein Ergebnis erhält, sagt man, dass es zu unwahrscheinlich war,  und deswegen die H0 abgelehnt wird.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, wieviele Werte noch extremer wären, als das Ergebnis, was du schon hast. Ich sehe an den Werten nicht ganz, was das Stichprobenergebnis war. Wieviele Erfolge hatte man den im konkreten Versuch?

Das müsstest du dann in den z-Wert umrechnen, und mit dem z-Wert kann man die Fläche der Werte bestimmen, die noch extremer in Richtung Ablehnungsbereich gehen als dein Stichprobenergebnis (also wenn dein Stichprobenergebnis einen negativen z-Wert hat, ist es die Fläche links von diesem z-Wert, wenn der z-Wert positiv ist, die Fläche rechts). Diese Fläche muss man noch mal 2 nehmen, damit man das dann bequem mit Alpha = 0.05 vergleichen kann.