Sinussatz?

Hallo,

Ich habe eine Frage zu der 9a)

Ich habe alle Werte bis auf Y1 und Y2 und Sc. Könnte mir jemand helfen, beziehungsweise sagen, wie man auf diese ko

mmt?

Answer 1

[gauss58]

c_1 = c_2 = c / 2 (Seitenhalbierende)

s_c mittels Kosinussatz in Dreieck ADC (α, c_1 und b bekannt)

γ_1 und γ_2 mittels Sinussatz

Ergänzung:

Aus der Aufgabenstellung geht nicht eindeutig hervor, ob bei a) γ_1, γ_2 und s_c gesucht sind. Man kann die Aufgabe auch so interpretieren, dass w_α sich auf a) und s_c sich auf b) bezieht und nur die fehlenden Größen von Dreieck ABC gesucht sind.

Beispiel b) ohne Kosinussatz:

s_c / sin(α) = b / sin(δ_1) mit δ_1 = Winkel CDA

δ_1 = 45,504°

δ_2 = 180° - δ_1 = 134,496° mit δ_2 = Winkel BDC

c_1 / sin(γ_1) = s_c / sin(α)

c_1 = 3,313

Berechnung von β:

(1) β + γ_2 = δ_1 ⇔ γ_2 = δ_1 - β

(2) sin(β) / s_c = sin(γ_2) / c_2

(1) in (2)

sin(β) / s_c = sin(δ_1 - β) / c_2

Additionstheorem für den Sinus:

(c_2 / s_c) * sin(β) = sin(δ_1) * cos(β) - cos(δ_1) * sin(β)

sin(β) ausklammern:

((c_2 / s_c) + cos(δ_1)) * sin(β) = sin(δ_1) * cos(β)

sin / cos = tan:

tan(β) = sin(δ_1) / ((c_2 / s_c) + cos(δ_1))

tan(β) = sin(45,504°) / ((3,313 / 6,5) + cos(45,504°)

β = 30,51°

Damit sind die Winkel und 2 Seiten von Dreieck DBC bekannt und a kann mit dem Sinussatz bestimmt werden. Ich bezweifel aber, dass diese Lösung einfacher ist, als die Anwendung des Kosinussatzes.

Comments

[ViDa1111]

Wie soll man sc mit alpha, c1 und b berechnen?

[gauss58]

@ViDa1111

Kosinussatz bekannt?

Wenn 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, kann die gegenüberliegende Seite mit dem Kosinussatz berechnet werden.

s_c² = c_1² + b² - 2 * c_1 * b * cos(α)

[ViDa1111]

@gauss58

Nein leider nicht. Ich sollte es auch laut der Lehrkraft nur mit dem Sinussatz berechnen.

[ViDa1111]

@ViDa1111

Aber ja, wenn ich den Kosinussatz anwenden dürfte, dann wäre das auf jeden Fall eine Option.

[evtldocha]

c_1 = c_2 = c / 2 (Seitenhalbierende)

... Woher nimmst Du die Information? Rein aus der Nomenklatur der Bezeichnungen, weil man sonst die Aufgabe nicht rechnen kann oder aus einer anderen mir verborgen bleibenden Tatsache?

(Ich frage jetzt lieber nach, bevor ich mich ungerechterweise über die Art der Aufgabenstellung aufrege ;-)

[gauss58]

@evtldocha

w_α habe ich als Winkelhalbierende und s_c als Seitenhalbierende interpretiert. Die Bezeichnungen sind nicht ungewöhnlich. Etwas anderes macht m.E. auch keinen Sinn.

[evtldocha]

@gauss58

Ja, ich verstehe das, aber leider steht das in der Aufgabenstellung nicht und von Schüler*innen zu erwarten, zu erkennen, was Sinn und keinen ergibt ist für den Anfang einfach ein Unding (noch dazu, wo man eher an Bemerkungen a la "nicht maßstabsgetreue Zeichnung" gewöhnt ist).

[gauss58]

@evtldocha

Ich gehe davon aus, dass die Schüler nicht aus dem Nichts heraus mit diesen Bezeichnungen konfrontiert sind, sondern das diese aus dem Unterricht bekannt sind. Z.B. steht in der Aufgabe 8) über der 9) der Hinweis, dass s_c die Seitenhalbierende auf c ist.

Davon abgesehen findet man hier bei vielen geometrischen Aufgaben Unklarheiten. Da werden rechte Winkel unterstellt, die nicht als solche gekennzeichnet sind oder besondere Punkte als Kreismittelpunkte angesehen, ohne dass diese als solche gekennzeichnet sind, um nur 2 Beispiele zu nennen.

Answer 2

[Rammstein53]

Wie man die Seiten a,b,c berechnet wird hier erklärt:

https://www.youtube.com/watch?v=YLgIPaS92AI

und für die Länge der Seitenhalbierenden gilt

Sa = 1/2*sqrt( 2(b²+c²) - a²)

Sb = 1/2*sqrt( 2(a²+c²) - b²)

Sc = 1/2*sqrt( 2(a²+b²) - c²)