Ich brauche dringend Hilfe bei dieser Mathematik Aufgabe. Kann jemand helfen?
Die ausgefüllten, dunkleren Felder müssen korrigiert werden, das sind falsche Eingaben. Vielen Dank im Voraus.
hier das Bild dazu
3 Antworten
Die Betragsstriche haben keinen Einfluss auf den Zahlenwert des Ergebnisses, sondern nur auf das Vorzeichen. Plus bleibt plus und Minus wird zu Plus.
Wir müssen also die Stelle im Defintionsbereich suchen, wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Das ist logischerweise genau dort, wo das Ergebnis = 0 ist. Darüber ist es sowieso plus und darunter ist es minus, wird aber durch die Betragsstriche zu plus... wie gesagt, ohne dass sich am Zahlenwert etwas ändert.
Daher ist der erste Schritt bei einer Fallunterscheidung, die Stelle des Vorzeichenwechsels zu suchen, denn genau dort unterscheiden sich dann die Fälle. Wir setzen also an:
-16x - 1/4 = 0
und lösen nach x auf:
-16x = 1/4
-x = 1 / (4 * 16) = 1/24
x = - 1/64
Nun wissen wir also, dass die Fallunterscheidung mit x >= -1/64 und x <= -1/64 stattfinden muss. Moglich wäre auch eine Fallunterscheidung für:
x > -1/64
x < -1/64
x = -1/64
Nun müssen wir gucken, welchen Einfluss es auf das Vorzeichen hat, wenn x > oder < als -1/64 ist. Das kriegen wir durch ausprobieren raus, wobei wir es uns so bequem wie möglich machen. Daher probieren wir es mit
x = 0 und x = -1 aus. Das eine liegt drüber, das andere unter - 1/64:
x = 0: f(x) = - 0 - 1/4 = -1/4 ....wir haben also ein Minus und müssen uns überlegen, wie wir daraus ein Plus kriegen
x = -1: f(x) = (-16) * (-1) - 1/4 = 16 - 1/4 = 15 3/4 ...das ist plus und da müssen wir dann gar nichts machen. Das kann so bleiben.
Nun müssen wir zurück zu x > -1/64 und gucken, wie wir da aus einem Minus im Ergebnis ein Plus hinkriegen ohne den Zahlenwert zu ändern. Das machen wir, indem wir den Ausdruck in den Betragsstrichen mit (-1) multiplizieren, denn die Multiplikation mit 1 ändert nichts am Zahlenwert, aber das Minus davor dreht das Vorzeichen um, was wir ja haben wollen::
(-16x - 1/4) * (-1) = 16x + 1/4
Damit können wir die dunklen Felder ausfüllen:
16x + 1/4 falls x > -1/64
-16x - 1/4 falls x < -1/64
0 falls sonst
Will man eine Betragsfunktion über eine Fallunterscheidung ohne Beträge darstellen, würde ich erstmal den Funktionsverlauf ohne Betrag darstellen. Im diesem Fall lauet die Funktion f(x) = -16x -1/4. Das eine Gerade und sieht so aus:
Das Vorzeichen der Funktion kann immer nur an einer Nullstelle wechseln, in diesem Fall bei x = -1/64. Somit gilt schon mal:
|-16x -1/4| = 0 für x = -1/64
Für alle Intervalle, in denen f(x) positiv ist (in diesem Fall im Intervall [-infinity, -1/64]), ändert das Betragszeichen nichts am Endergebnis. Somit gilt weiter:
|f(x)| = f(x) für x < -1/64
bzw. für die Lösungsangabe:
|-16x -1/4| = -16x -1/4 für x < -1/64.
Für das verbleibende Intervall [-1/64, +infinity] muss dann das Vorzeichen von f(x) invertiert werden:
|f(x)| = -f(x) für x > -1/64
bzw. für die Lösungsangabe:
|-16x -1/4| = -(-16x -1/4) = 16x+1/4 für x > -1/64.
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Um die Lösungsmenge der Ungleichung |-16x-1/4| > 7 zu finden, unterscheidet man folgende Fälle:
(a) für welche x gilt -16x-1/4 > 7
(b) für welche x gilt -16x-1/4 < -7
Auf hier verhilft eine graphische Darstellung zu einem ersten Überblick. Die beiden Parallelen bei +7 und -7 schliessen die Lösungsmenge aus:
(a) nach x auflösen : x < - 29/64
(b) nach x auflösen: x > 27/64
Die beiden Intervalle lauten also [-infinity, -29/64] und [+27/64, +infinity]
also für -16x-0,25<0 ist es -(-16x-0,25)=16x+0,25 und sonst ist es -16x-0,25
jetzt die Bedingung nach x auflösen:
-16x-0,25<0
-0,25<16x
-1/64<x