Differentialrechnung Extremwertaufgaben?
Hallo zusammen
Wir kommen bei Aufgabe 32 leider nicht weiter. Im zweiten Bild befinden sich die Lösungen. Könnte uns jemand einen detaillierten Lösungsweg vorschlagen?
Tausend Dank!
2 Antworten
Diagonale d soll minimal werden.
(1) d² = a² + b² → Min.
2 Unbekannte sind eine zuviel. Daher Nebenbedingung nutzen, um eine Unbekannte zu eliminieren:
Nebenbedingung:
(2) A = a * b ⇔ a = A / b
(2) in (1):
d²(b) = (A² / b²) + b²
Ableiten und Minimum bestimmen:
(d²(b))' = (A² * (-2) / b³) + 2 * b
(d²(b))' = (-2 * A² / b³) + 2 * b
0 = (-2 * A² / b³) + 2 * b
2 * A² = 2 * b⁴
b² = A
b = √A = a
Prüfung zweite Ableitung:
(d²(b))'' = (-2 * A² * (-3) / b⁴) + 2 = (6 * A² / b⁴) + 2 (> 0, also Minimum)
Die Diagonale ist minimal, wenn es sich um ein Quadrat handelt.
Hallo,
als erstes macht man eine Zeichnung - immer!!!!
Rechteck mit den Seiten a und b. Fläche gleich a*b.
Diagonale ist nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus (a²+b²).
Wenn a²+b² minimal werden, ist es auch die Wurzel aus ihnen.
Es reicht daher, a²+b² zu minimieren unter der Bedingung, daß a*b einen vorgegebenen Wert ergeben, also die Fläche des Rechtecks. Sollte die Fläche nicht näher bestimmt sein, setzt Du sie einfach gleich 1, also F=1.
Die Nebenbedingung ist dann a*b=1, also b=1/a.
Minimiert werden soll a²+b² und da b=1/a, kann man daraus a²+(1/a)² machen.
Abgeleitet nach a ergibt das F'(a)=2a-2/a³.
F'(a) gleich Null setzen:
2a-2/a³=0 |:2
a-1/a³=0 |*a³
a^4-1=0 |+1
a^4=1
a=-1 oder a=1.
-1 scheidet als Lösung aus, da man wohl kaum ein Rechteck mit negativen Seitenlängen finden wird.
Also a=1 und da b=1/a, ist b auch gleich 1.
Es muß für die minimale Diagonale bei gegebener Fläche also gelten: a=b=1.
Ein Rechteck mit den Seiten a und b, bei denen a=b, ist ein Quadrat.
Das Quadrat ist also von allen flächengleichen Rechtecken das mit der kleinsten Diagonale.
Herzliche Grüße,
Willy